河南省环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高一下学期阶段性考试（一）数学试题（解析版）

第1页/共1页环际大联考“逐梦计划”2024~2025学年度第二学期阶段考试（一）高一数学试题（试卷总分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角，那么的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】将用到的角表示出，进而确定其所在的象限.【详解】角，而，所以的终边在第二象限.故选：B2.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若，则或；若，则，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选：B.3.已知x是三角形的一个内角，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求解不等式，注意三角形中角的范围限制即可.【详解】因为单调递减，，，所以，故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.5.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、余弦函数的单调性比较大小.【详解】依题意，，，，所以.故选：B.6.已知函数，则下列说法中正确的是A.函数图像的对称中心为，B.函数图像的一条对称轴方程是C.函数在区间上增函数D.函数的最小正周期是【答案】D【解析】【分析】根据正切型函数的图象和性质，分别分析其对称中心，对称轴，周期，增减性即可.【详解】对于A，当或时，即或是函数的对称中心，故错误，对于B,正切型函数无对称轴，故错误，对于C,当时，，正切函数在此区间不单调，故错误，对于D,周期，故正确.所以选D.【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质，特别要注意函数无对称轴，属于中档题.7.已知（）在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性列出不等式求出范围.【详解】当时，，而在上单调递增，则，解得，所以的取值范围是.故选：C8.已知函数，则下列函数的图象关于中心对称的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】证得函数为奇函数，可得关于原点对称，进而可得函数关于对称，再结合函数关于点对称，即可求出结果.【详解】因为函数，定义域为，则，故函数为奇函数，则关于原点对称，因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，且函数关于点对称，因此函数关于点对称，故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知角和的终边关于x轴对称，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意，由条件可得，然后结合诱导公式逐一判断，即可得到结果.【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得，．对于A，由，A错误；对于B，由，B正确；对于C，由，C正确；对于D，由，D错误．故选：AC．10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）A.B.C.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，是偶函数D.方程在上有两个根，则【答案】ACD【解析】【分析】由得出，再由求出，由结合，得出值，即可判断AB选项，再由平移得出判断C选项；结合题中图象即可判断D选项.【详解】由图象知，最小正周期，得，由的图象知，，由过点，得，又，则，当时，，又的图象过点，则，解得，，得，，又，故无解，即不符合题意；当时，，又的图象过点，则，即，，于是，，而，则，故，则A正确，B错误；函数是偶函数，故C正确；由图象知，函数在上递增，在上递减，且，，，则当方程在上有两个根时，，D正确．故选：ACD11.下列选项正确的是（）A.B.，使C.若，则D.曲线与在有6个交点【答案】ACD【解析】【分析】利用诱导公式化简判断A；利用正余弦函数值域及不等式性质推理判断B；利用诱导公式及同角公式计算判断C；建立方程并转化为直线与的图象的交点个数求解判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，则，，因此不存在，使，B错误；对于C，由，得，，因此，C正确：对于D，由，得，函数的最小正周期为，在上单调递增，在每一个单调区间内，直线与的图象只有1个交点，，因此在时，直线与的图象有5个交点，当时，，当时，，，此时直线与的图象有1个交点，因此直线与的图象共有6个交点，所以曲线与在有6个交点，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】先得到使函数有意义关系式，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：，解得；故答案为：13.已知，则_________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简结合已知即可得结果.【详解】，故答案为：.14.《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》．其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来．轻袖佛华妆，窈窕登高台、诗里的叠扇，就是折扇．折扇展开后可看作是半径为R的扇形，是圆面的一部分，如图所示．设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”．若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为_________．【答案】【解析】【分析】利用与比值，列出方程即可.【详解】扇形所在圆面的面积为又，即所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先将原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的商的关系化“弦”为“切”，求得，由即得所求；（2）先利用将原式变形为齐次分式，再将分子分母同时除以得到关于的式子，代入的值即可.【小问1详解】由，得，所以.【小问2详解】16.已知函数（1）用“五点法”作出在上的简图;（2）写出的对称中心以及单调递增区间;（3）求最大值以及取得最大值时的集合.【答案】（1）作图见解析；（2）对称中心，增区间为；（3）最大值为2,.【解析】【分析】（1）根据的范围求出的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象．（2）将作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解．（3）根据给定条件，结合正弦函数的性质求出函数的最大值作答．【小问1详解】由，得，列表如下：012101画出函数的图象，如图：【小问2详解】由，得，因此函数图象的对称中心为，由，得，所以函数的递增区间为．【小问3详解】当，即时，，所以函数的最大值为2，此时的集合为．17.已知函数（，），的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为．（1）求的最小正周期及的值；（2）若点R的坐标为，，求A的值．【答案】（1）最小正周期，；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的函数式及图象，利用正弦函数周期公式及最值点求得答案.（2）过点Q作于点S，结合（1）信息求出，再利用给定角求出.【小问1详解】函数的最小正周期，由为函数图象的最高点，得，，解得，，而，所以.【小问2详解】由Q为函数图象的最低点，，，得点Q的坐标为，，又，则，过点Q作于点S，，因此.18.如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与．（1）若的面积为2，求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）由题意求出与，根据的面积为2，结合三角函数同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）结合（1）可表示出，利用基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上，由题意可知，故，故，，故，则，由的面积为2，得，即．所以，又，故，即，解得；【小问2详解】由题意是锐角，则，，当且仅当时取等号，所以的最小值为16．19.函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．（1）判断函数（其中）的奇偶性，并加以证明；（2）我们知道三角函数有非常多