2012-2021北京高三（上）期末数学汇编：二倍角的正弦、余弦、正切公式

11/112012-2021北京高三（上）期末数学汇编二倍角的正弦、余弦、正切公式一、单选题1．（2021·北京昌平·高三期末）“a=1”是“函数y=cos2A．充分不必要 B．必要不充分C．充分且必要 D．既不充分也不必要2．（2021·北京海淀·高三期末）已知函数fxA．fx是偶函数 B．函数fxC．曲线y=fx关于x=−π4对称3．（2015·北京东城·高三期末（文））已知cosα=34A．38 B．−38 C．3二、填空题4．（2020·北京通州·高三期末）在ΔABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A,则cos5．（2019·北京通州·高三期末（理））已知角α的终边与单位圆x2+y2=16．（2019·北京海淀·高三期末（理））在ABC中，b=3a，且cos2A=7．（2012·北京东城·高三期末（文））已知sinα−2cosα=08．（2015·北京大兴·高三期末（文））函数y=cos三、解答题9．（2021·北京昌平·高三期末）在△ABC中，b=7, c=5，再从条件①、条件（Ⅰ）∠B的值；（Ⅱ）△ABC的面积.条件①：sin2B=sinB；条件②：cos2B=cos10．（2020·北京丰台·高三期末）已知函数fx（Ⅰ）求fπ（Ⅱ）求fx在区间0,11．（2018·北京丰台·高三期末（理））△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3sin（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若a＝4，SΔABC=6312．（2018·北京东城·高三期末（文））已知函数f(x)=23sinax⋅（Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)在区间[π（Ⅱ）当f(x)的图像经过点(π3,2)时，求a13．（2018·北京朝阳·高三期末（文））已知函数f(x)=(（Ⅰ）求N的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x∈0,π214．（2016·北京朝阳·高三期末（文））已知函数f(x)=cos2x+（1）求实数a的值及函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在[0,π15．（2012·北京石景山·高三期末（理））已知函数f(x)=3（Ⅰ）求fx（Ⅱ）求fx在区间−16．（2015·北京西城·高三期末（文））已知函数f(x)=1−2sin2(x−（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）判断函数f(x)在区间[−π17．（2012·北京海淀·高三期末（理））在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，sinB=（Ⅰ）求cosA及sin（Ⅱ）若b=2，求ΔABC的面积.四、双空题18．（2021·北京东城·高三期末）已知sinθ=−13，θ∈π,3π

参考答案1．A【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据a=1时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为π时，利用周期公式求得a的值，从而判定是否必要；注意函数y=cos(ωx+φ)的最小正周期公式【详解】解：y=当a=1时，y=cos2x的最小正周期为当函数y=cos2ax的最小正周期为所以T=2π|2a|综上：“a=1”是“函数y=cos2ax−故选：A.2．C【解析】根据二倍角公式及诱导公式可得fx【详解】函数fx由于f−x=−sinfx的最小正周期为T=由于f−π4=−sin由于f1=−sin2<0，故选：C.3．D【详解】试题分析：由题意sinα=−1−=2×(−7考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．4．1【解析】根据正弦定理建立等量关系求解即可.【详解】在ΔABC中,由正弦定理得：ba2626所以coscosB=故答案为：1【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.5．±【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα=32，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±32【详解】解：由三角函数的定义有：sinα=32，由sin2α+cos得：cosα＝±12由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±32故答案为±3【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题6．3【分析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出cosB，从而求出cos【详解】因为b=3a，所以cos2A=1−2解得cosB=1（舍），cosB=1解得cosA=±由b=3a>a,所以B>A，故A为锐角，所以【点睛】本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用.7．−【分析】

由同角的三角函数关系，可以求出tanα【详解】sinα−2cosα=0【点睛】本题考查了二倍角的正切公式及同角的三角函数关系．8．π【分析】根据余弦的二倍角公式化简表达式，进而利用周期公式即可求得最小正周期．【详解】由余弦的二倍角公式可得y=cos=所以最小正周期为T=【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式及余弦的周期求法，属于基础题．9．（I）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】（1）选择条件①，化简sin2B=sinB，得cos由余弦定理算得a，运用面积公式可算出△ABC的面积.（2）选择条件②，化简cos2B=cosB得cos由余弦定理算得a，运用面积公式可算出△ABC的面积.【详解】选择条件①：（Ⅰ）因为sin2B=所以sinB(2因为0<B<π，所以sinB>0所以cosB=所以B=π（Ⅱ）由余弦定理b2得72所以a2解得a=8或a=−3（舍负）.所以a=8.所以△ABC的面积S=1选择条件②：（Ⅰ）因为cos2B=所以2cos解得cosB=1或cos因为0<B<π，所以cosB=−所以B=2π（Ⅱ）由余弦定理b2得72所以a2解得a=3或a=−8（舍负）.所以a=3.所以△ABC的面积S=1【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．10．（Ⅰ）32；（Ⅱ）1+【解析】（Ⅰ）利用特殊角的三角函数值计算即可.（Ⅱ）利用降幂公式和辅助角公式可得fx=sin【详解】解：（Ⅰ）f(π=3=3（Ⅱ）f=1=sin因为x∈0,π2当2x+π3=fx取得最大值1+【点睛】

形如fx=Asin11．（Ⅰ）B=π3；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由已知条件结合二倍角公式及同角三角函数的基本关系可求得tan⁡B=3，由此求得角（Ⅱ）由SΔABC=63，a＝4，B=【详解】（Ⅰ）因为3sin所以23因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以tan⁡B=所以B=π（Ⅱ）由SΔABC=63，a得12解得c＝6．由余弦定理得：b2解得b=27【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，三角形面积公式及余弦定理的运用，还考查了逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．12．(Ⅰ)最大值2，最小值为−1；(Ⅱ)a=12．最小正周期【详解】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简可得f(x)=2sin(2x+π6)，因为π12≤x≤π2，所以π3≤2x+π6≤7π6，根据正弦函数的单调性与图象可得函数f(x)在区间试题解析：（1）当a=1时，f(x)=2=3sin2x+因为π12≤x≤π所以，当2x+π6=π2，即x=当2x+π6=7π6，即x=（2）因为f(x)=23所以f(x)=3因为f(x)的图象经过点(π所以2sin(2aπ所以2aπ3+π因为0<a≤1，所以a=1所以f(x)的最小正周期T=2π13．（Ⅰ）π（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)=2sin(2x−（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)=2sin(2x−π4)+1．根据x∈0,试题解析：（Ⅰ）因为f(x)=sin2x+=1+sin所以函数f(x),的最小正周期为π.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)=2当x∈0,π2时，sin(2x−2sin当2x−π4=−π4,即所以当x∈0,π214．（1）a=−12，函数f(x)的最小正周期为π；（2）【分析】（1）对f(x)进行三角恒等变形，将其化为形如y=Asin再根据过点(π6,1)再利用正弦函数的性质即可求解．【详解】（1）由f(x)=cos2x+3sin因为函数f(x)的图象过点(π6,1)解得a=−12，函数f(x)的最小正周期为（2）因为0≤x≤π2，所以π6所以当2x+π6=7π6，即x=π215．（Ⅰ）π；（Ⅱ）1+3【分析】

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数fx化为sin2x+π3+32，利用正弦函数的周期公式可求f【详解】（Ⅰ）=sin.（Ⅱ）因为，所以当时，即时，的最大值为,当时，即时，的最小值为.【点睛】对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.16．（Ⅰ）π;（Ⅱ）函数f(x)在区间[−π【详解】试题分析：（Ⅰ）因为f(x)=1−2sin2(x−π4)，根据余弦的二倍角公式，可得f(x)=sin2x，根据三角函数的周期性，即可求出函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）由2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2试题解析：（Ⅰ）解：因为f(x)=1−2=cos=sin所以函数f(x)的最小正周期T=2（Ⅱ）解：结论：函数f(x)在区间[−π理由如下：由2kπ解得kπ所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π当时，知在区间[−π4,所以函数f(x)在区间[−π考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质.17．（Ⅰ）13，539【分析】（Ⅰ）由A=2B，可得cosA=cos2B=1−2sin2B=1−2×13=【详解】（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=因为sinB=所以cosA=1−2×由题意可知，B∈(0,π所以cosB=因为.所以.（Ⅱ）因为，，所以.所以.所以.【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角