2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷北京卷（含解析）（参考版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学试卷本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则() 3.若直线是圆的一条对称轴，则()A. B.4.已知函数，则对任意实数x，有()A. B. C. D.5.已知函数，则()A.在上单调递减 B.在上单调递增C.在上单调递减 D.在上单调递增6.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()A.当，时，二氧化碳处于液态B.当，时，二氧化碳处于气态C.当，时，二氧化碳处于超临界状态D.当，时，二氧化碳处于超临界状态8.若，则()A.409.已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为()A. C. D.10.在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是()A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数的定义域是________.12.已知双曲线的渐近线方程为，则_________.13.若函数的一个零点为，则_______；______.14.设函数若存在最小值，则a的一个取值为______；a的最大值为_________.15.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足.给出下列四个结论：

①的第2项小于3；

②为等比数列；

③为递减数列；

④中存在小于的项.

其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.17.（14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到m以上（含m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：，，，，，，，，9.30，；

乙：，，，，，；

丙：，，，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.（15分）已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.20.（15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，，有.21.（15分）已知为有穷整数数列.给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，，，…，，使得，则称Q为m-连续可表数列.（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若为20-连续可表数列，且，求证：.

参考答案1.答案：D解析：通解：因为全集，，所以，故选D.优解：因为，所以，可排除A选项和B选项；，所以，可排除C选项，故选D.2.答案：B解析：解法一：依题意可得，所以，故选B.解法二：依题意可得，所以，则，故选B.3.答案：A解析：依题意可知圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，所以，所以，故选A.4.答案：C解析：函数的定义域为R，，所以，故选C.5.答案：C解析：依题意可知，对于A选项，因为，所以，函数在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为，所以，函数在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为，所以，函数在上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为，所以，函数在上不单调，所以D选项不正确.故选C.6.答案：C解析：设无穷等差数列的公差为，则，若为递增数列，则，则存在正整数，使得当时，，所以充分性成立；若存在正整数，使得当时，，即，对任意的，均成立，由于时，，且，所以，为递增数列，必要性成立.故选C.7.答案：D解析：对于A选项，当，，即时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当，，即，即时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当，，即时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当，，即，即时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.8.答案：B解析：解法一（赋值法）依题意，令，可得，令，可得，以上两式相加可得，所以，故选B.解法二（通项公式法）二项式的通项为，分别令，可分别得，，，所以，故选B.9.答案：B解析：设O为的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，，在中，，当时，连接OQ，根据勾股定理可得，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合，故集合T表示的区每的面积为π，故选B.10.答案：D解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，又表示圆上一点到点距离的平方，圆心到点的距离为，所以，即，故选D.11.答案：解析：因为，所以，，解得.12.答案：-3解析：通解：依题意得，双曲线的方程可表示为，此时双曲线的渐近线的斜率为，解得.优解：依题意得，令，得，解得.13.答案：；解析：依题意得，解得，所以，所以.14.答案：0（答案不唯一）；1解析：当时，函数存在最小值0，所以a的一个取值可以为0；当时，若，，此时函数不可能存在最小值；当时，若，则，此时，若，则，若函数存在最小值，则，得；当时，若，则，此时，若，则，若函数存在最小值，则，此时不等式无解.综上，，所以a的最大值为1.15.答案：①③④解析：因为，所以，又，所以，，即，得，所以①正确；当时，由，得，两式作差可得，即，整理得，若数列为等比数列，则当时，为常数，即数列从第2项起各项均为同一个常数，易知当时不成立，以②不正确；因为，所以，由数列的各项均为正数，得，所以，所以③正确；对于④，若数列的所有项均大于等于，取，由且，得，所以，与已知矛盾，所以④正确.综上，所有正确结论的序号是①③④.16.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，所以，

因为，所以，所以，.（Ⅱ）因为的面积，

所以.

由余弦定理可得，

所以，

所以的周长为.17.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：（Ⅰ）解法一：如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM，

因为N为AC的中点，所以PN为的中位线，所以.

又M为的中点，所以.

因为，，平面，平面MPN，所以平面平面MPN.

又平面MPN，所以平面.

解法二：如图，取BC的中点D，连接，DN.

在三棱柱中，，.

因为M，N，D分别为，AC，BC的中点，

所以，，，，

则且，

所以四边形为平行四边形，因此.

又平面，平面，

所以平面.（Ⅱ）因为侧面为正方形，所以，

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，而平面，所以.

选条件①：由（Ⅰ）得，因为，所以，

又，所以平面，

在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，

故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，，，，

所以，，.

设平面BMN的法向量为，

由得得令，得.

设直线AB与平面BMN所成角为，

则，

所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.选条件②：由（Ⅰ）知，，而，故.

又因为，所以.

在和中，，，，则，

因此，即，故.

在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，

故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

设平面BMN的法向量为，

由得令，得.

设直线AB与平面BMN所成角为，

则，

所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.18.答案：（Ⅰ）0.4（Ⅱ）（Ⅲ）见解析解析：解：（Ⅰ）设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A.

因为比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖，甲以往的比赛成绩中达到以上（含）的有，，，，共4个，

所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率.（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3.由（Ⅰ）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率.

设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B，C，则，.

，

，

，

，

所以.（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，按以往比赛成绩的平均数、方差来看，甲获得冠军的概率估计值最大；按以往比赛的最好成绩来看，丙获得冠军的概率估计值最大.19.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）-4解析：（Ⅰ）依题意可知，

得，故椭圆E的方程为.（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，

设，，

联立直线BC和椭圆E的方程，得，

整理得，

，，

由得，

易知直线AB的斜率，

直线AB的方程为，令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.

，得.故k的值为-4.20.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）在上单调递增（Ⅲ）见解析解析：（Ⅰ）由题，，

故，，

因此，曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）解法一：，

则，设，，

则，故在上单调递增，故，

因此对任意的恒成立，

故在上单调递增.解法二：，

则，

又，当时，，

故对任意的恒成立，

故在上单调递增.（Ⅲ）设，

则，

由（Ⅱ）知在上单调递增，

故当，时，，

因此，在上单调递增，故，

因此，对任意的，有.21.答案：（Ⅰ）Q是5-连续可表数列，不是6-连续可表数列（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析解析：（Ⅰ）若，则对于任意，，，，，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；（Ⅱ）反证法：假设k的值为3，则，，最多能表示，，，，，共6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故；现构造Q：4，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意，故k的最小值为4；（Ⅲ）证明：从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字