2023年高考数学一轮复习考点一篇过专题43随机抽样理

考点43随机抽样随机抽样〔1〕理解随机抽样的必要性和重要性．〔2〕会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．一、简单随机抽样1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的时机都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．3．应用范围：总体中的个体数较少．注意：不管哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．二、系统抽样1．定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个局部，然后按照事先定出的规那么，从每一局部抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．2．系统抽样的操作步骤：第一步编号：先将总体的N个个体编号；第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k=；第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；第四步获取样本：按照一定的规那么抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号，再加k得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本．3．应用范围：总体中的个体数较多．注意：系统抽样是等距抽样，抽样个体的编号相差的整数倍．三、分层抽样1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．2．应用范围：当总体是由差异明显的几个局部组成时，往往选用分层抽样．注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．四、三种抽样方法的比拟类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的时机(概率)相等从总体中逐个抽取—总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几局部，按事先确定的规那么，在各局部抽取在起始局部抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比拟多将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几局部组成分层抽样考向一简单随机抽样应用简单随机抽样应注意的问题：(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．(3)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．典例1下面的抽样方法是简单随机抽样的是A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验【答案】D【名师点睛】抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．1．从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001，002，003，…，500进行编号．如果从随机数表的第7行第4列的数2开始，从左往右读数，那么依次抽取的第4个个体的编号是附：随机数表第6行至第8行各数如下：162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672172065025834216337663016378591695556719981050717512867358074439523879A．217 B．245C．421 D．206考向二系统抽样用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．典例2为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【答案】D【解析】利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取1个，号码间隔为10．2．某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校初一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，那么从33～48这16个数中应取的数是A．40 B．39C．38 D．37考向三分层抽样与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：(1)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(2)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原那么是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．典例3某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，那么n等于A．9 B．10C．12 D．13【答案】D【名师点睛】分层抽样分层的原那么：分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原那么是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．3．某地区有大型商场个，中型商场个，小型商场个，且，为了掌握该地区商场的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么抽取的中型商场的个数为．考向四三种抽样方法的综合(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的时机均等；总体分组后，在起始局部抽样时，采用简单随机抽样．(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几局部组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．典例4某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教职工编号为000，001，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．以下说法中正确的选项是A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的【答案】A4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270关于上述样本的以下结论中，错误的说法有________．〔1〕②、③都不能为系统抽样〔2〕②、④都不能为分层抽样〔3〕①、④都可能为系统抽样〔4〕①、③都可能为分层抽样1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取了25人，从女生中任意抽取了20人，进行调查，这种抽样方法是A．抽签法 B．随机数表法C．分层抽样法 D．系统抽样法2．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三人中，抽取81人进行问卷调查，高二被抽取的人数为30，那么A．860B．720C．1020D．10403．福利彩票“双色球〞中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下图的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，那么第四个被选中的红色球号码为附：随机数表中第1行和第2行各数如下：A．12B．33C．06D．164．某次考试结束后，从考号为1—1000号的1000份试卷中，采用系统抽样法抽取50份试卷进行试评，那么在考号区间［850，949］之中被抽到的试卷份数为A．一定是5份B．可能是4份C．可能会有10份D．不能具体确定5．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为l到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，假设抽到编号之和为48，那么抽到的最小编号为A．2B．3C．4D．56．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬菜类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测．假设采用分层抽样的方法抽取样本，那么抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是A．4 B．5C．6 D．77．为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，5号，18号，44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是A．23B．27C．31D．338．某校高中部共名学生，其中高一年级450人，高三年级250人，现采用分层抽样的方法从全校学生中随机抽取60人，其中从高一年级中抽取27人，那么高二年级的人数为A．250B．300C．500D．10009．某市教育主管部门为了全面了解2023届高三学生的学习情况，决定对该市参加2023年高三第一次全国大联考统考〔后称统考〕的32所学校进行抽样调查；将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法，抽取8所学校进行调查，假设抽到的最大编号为31，那么最小编号是A．3B．1C．4D．210．?中国诗词大会?的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图．假设规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人〞的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手〞的称号，其他学生得到“诗词爱好者〞的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，那么抽选的学生中获得“诗词能手〞称号的人数为A．2B．4C．5D．611．分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在?九章算术?第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是A．甲应付钱B．乙应付钱C．丙应付钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少12．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，那么应从丙专业抽取的学生人数为________．13．高三〔2〕班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，假设在第一组中随机抽取的号码为5，那么在第6组中抽取的号码为________．14．某班级共有52名学生，现将学生随机编号，用系统抽样法，抽取一个容量为4的样本，抽取的号中最小的与最大的和为51，那么在样本中的被抽到的编号依次是________．15．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，那么在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，那么样本容量n为________．1．〔2023年高考湖南卷〕对一个容量为的总体抽取容量为的样本，中选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，那么A． B．C．D．2．〔2023年高考广东卷〕某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A．， B．，C．， D．，3．〔2023年高考湖南卷〕某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，那么宜采用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法4．〔2023年高考陕西卷〕某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11B．12C．13D．145．〔2023年高考新课标Ⅰ卷〕为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取局部学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样6．〔2023年高考江苏卷〕7．〔2023年高考北京卷节选〕A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如下表〔单位：小时〕：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5〔1〕试估计C班的学生人数.8．〔2023年高考广东卷〕某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据.变式拓展变式拓展1．【答案】D【解析】产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合条件的号码为157，245，206，故第4个个体编号为206．2．【答案】B3．【答案】【解析】因为该地区有大型商场个，中型商场个，小型商场个，且，所以用分层抽样进行调查，应抽取中型商店数为，故填．4．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕【解析】根据分层抽样和系统抽样的定义知：①③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样，故〔1〕〔2〕〔3〕错误．考点冲关考点冲关1．【答案】C【解析】根据题意有eq\f(25,500)＝eq\f(20,400)，由分层抽样的定义可知，应选C．2．【答案】D【解析】分层抽样是按比例抽样，可得，可得．故此题选．3．【答案】C【解析】第1行第9列和第10列的数字为63，所以选择的数为17，12，33，06，32，22，第四个号码为06，选C．4．【答案】A【解析】由于，即每20份试卷中抽取一份，，因此在考号区间［850，949］中抽取的试卷份数为．5．【答案】B【解析】系统抽样的间隔为，设抽到的最小编号为x，那么，解得．6．【答案】C【解析】由得抽样比为eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为eq\f(1,5)×(10＋20)＝6．7．【答案】C【解析】因为5号，18号，44号同学在样本中，18−5=13，44−18=26，所以抽样间隔为13，样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31，应选C．8．【答案】B【名师点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．9．【答案】A【解析】根据系统抽样法，总体分成8组，组距为，假设抽到的最大编号为31，那么最小的编号是3．所以A选项是正确的．10．【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人.11．【答案】B【解析】依题意：由分层抽样知识可知，，那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱．应选B.12．【答案】16【解析】因为高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有名学生，所以本校共有学生名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取名学