考研数学高等数学长线基础班讲义1-3

2012考研基础班高等数学讲义

主讲：汪麟义

欢迎使用新东方在线电子教材

第一章函数、极限、连续

§1.1函数

（甲）内容要点

一、函数的概念

1.函数的定义

设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规划了,对每一个xe。，都能对应惟一的

一个实数y,则这个对应规划/称为定义在。上的一个函数，记以产式x）,称x为函数的自

变量，y为函数的因变量或函数值，。称为函数的定义域，并把实数集

Z={y\y=f（x）,xeD}

称为函数的值域。

2.分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以

上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。

例如

x+1%<-1

y=/（%）=<x2-1<x<1

5xx>l

是一个分段函数，它有两个分段点，x=—1和x=l,它们两侧的函数表达式不同，因此讨

论函数>43）在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、

右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一•般不是初等函数，不能用初等函数在定义域

内皆连续这个定理。

3.隐函数

形如y/x）有函数称为显函数，由方程尸（x,y）=0确定的y=y（x）称为隐函数，有些隐

函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数

如果y^x）可以解出x=/（y）是一个函数（单值），则称它为.大外的反函数，记以

x=/T（y）。有时也用y=f-x（x）表示。

二、基本初等函数

1.常值函数y=C（常数）

2.募函数y（a常数）

3.指数函数y=ax（”>0,常数）

y="（e=2.7182…，无理数）

4.对数函数y=\ogaX（a>0,常数）

常用对数y=log］（）x=lgx

自然对数y=logex=Inx

5.三角函数y=sinx;y=cosx;y=tanx.

y=cotx",y=secx',y=escx.

6.反三角函数y-arcsinx;y-arccosx;

y=arctanx\y-arccotx.

基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用

limarctanx；limarctanx；limex；lime*；limInx等等，就需要对y=arctanx,

XT+8X->-00XfO*XT。*

y=",y=Inx的图像很清晰。

三、复合函数与初等函数

1.复合函数

设y=/（M）定义域U

u=g（X）定义域X,值域U*

如果U*uU,则y=/［g（x）］是定义在X上的一个复合函数，其中“称为中间变量。

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称

为初等函数。

四、函数的几种性质

1.有界性：设函数y寸x）在X内有定义，若存在正数M,使xwX都有,则

称Ax）在X上是有界的。

2.奇偶性：设区间X关于原点对称，若对x€X,都有/（r）=-/（x）,购尔/（x）

在X上是奇函数；若对xeX,都有〃r）=/（x）,则称〃x）在X上是偶函数。奇函

数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。

3.单调性：设/（x）在X上有定义，若对任意玉wX,x2&X阳<々都有

〃王）<〃与）［/（玉）>/（々）］,则称/（X）在x上是单调增加的［单调减少的］;若

对任意X1€X,x2eX玉<》2都有/（%）《/（々）［/（*）2/（9）］,则称“X）在X

上是单调不减［单调不增］。

（注意:有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;把这里单调不减称为单调增加。）

4.周期性：设/（x）在X上有定义，如果存在常数THO,使得任意xeX,

x+TeX,都有/（x+T）=/（x）,则称/（x）是周期函数，称T为/（x）的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。

（乙）典型例题

一、求函数的定义域

【例1】求函数/（x）=lnlnlnx+J100—x2的定义域。

解Inlnlnx要有定义，x>e,「

J100-X?要有定义,x2<100,|x|<10,

因此，/（X）的定义域为（&10］

【例2】求y=）口彳+1的定义域。

-ln|x-5|

解要有定义,》21和工=（）

―J—f要有定义，XH5,x/4XH6,

ln|x-5|

因此,定义域为{0}U［l，4）U（4,5）U（56）U（6+oo）

【例3】设“X）的定义域为［—4,〃］（4>0）,求/（r一1）的定义域。

解要求一oWd—1<〃，则1—。工工241+。，

当。21时，「T—。W0,厂,厂W1+。，贝（I同WJl+a

当0<。<1时，1一。>0,/.y/l-a<|x|<>Jl+a

也即J1-aWxWJ1+-或—Jl+aWxW—J1-a

【例4】设g（尤）=」'"一'<2求"x）=g（2x）+g（x-l）的定义域，并求

2,2VxW4

(I)

解g(x)的定义域为［0,4］,要求0W2xW4,则0WxW2；要求04x-lW4,

则14x«5,于是〃x)的定义域为［1,2］。

又呜卜(3)+g［%2+l=3

二、求函数的值域

【例1】求y=e出的值域。

解我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

2K一再’

1=，1+，一,它的定义域」＞0,且ywl

所以原来函数的值域为(0,l)U(L+oo)。

三、求复合函数有关表达式

1.已知兀¥)和g(R),求/[g(X)].

X1_

【例1】已知/(x)=——，求/

X-1/W-1

XI

解/(x)-l=---1=---------=X-1(XH1)

x-1x-1/W-1

1x—1x—1

于是，//(1)=(XW1,XH2)

/W-1(x—1)—1x—2

Y

【例2】设/(x)=k=^,求/[/(…/(幻)]：/“。).

V1+%2

X

y)\+(k+l)X2

X

根据数学归纳法可知，对正整数〃，fnw=.

Jl+nx1

2.已知g(x)和加(切，求於).

【例1】设〃/+l)=e2x+/+x,求危).

解令e"+l=〃，x=ln(w-l)

f(u)=(w-I)2+(w-l)+ln(w-1)=u2-w+ln(w-l)

于是/(x)=A:2-x+ln(x-l)

【例2】已知((")=泥一3且/⑴=0,求穴x).

解令/=t,x=lnf,因此/(/)=/«)=早，

/W-/(l)=小叫=；h/x

1)

•.•/(1)=0,.-./(x)=-ln2x

四、有关四种性质

【例1】设尸(x)=/(x),则下列结论正确的是().

(A)若大x)为奇函数，则尸(x)为偶函数

(B)若九0为偶函数，则尸(x)为奇函数

(C)若人幻为周期函数，则F(x)为周期函数

(D)若大x)为单调函数，则F(x)为单调函数

解(B)不成立，反例/(x)=VF(x)=§+l

(C)不成立，反例/(x)=cox+l,F(x)=sinx+x

(D)不成立，反例/(%)=21,/7(1)=12在内8,+00)

(A)成立。

证明尸(外=尸(0)+［；/。)力,/为奇函数，

F(-x)=F(O+)『7⑺由=F(0+^f(-u)d(-u)

=F(0>=F(x)F(x)为偶函数。

【例2】求/=f产+(，一e-1)ln(x+y/x2+l)]dx.

解力(x)="—eT是奇函数，:/[(r)=e-£—/=-/(x)/(x)=ln(x+Jx2+l)

是奇函数，

2

f2(-x)=ln(-x+-\lx+1)=In——^=r-

x+^Jx2+1

2

=In1-ln(x+Vx+1)=-f2(x)

因此x(ex-e-x)ln(x+y/x2+l)是奇函数。

于是/=f产6dx+o=2卜6dx=g。

【例3】两个周期函数之和是否仍是周期函数？

解不一定

XX

(1)f(x)=sin—+cos—

23

x

fx(x)=sin—周期为4n

r

f2W=COS—周期为6n

和6n的最小公倍数为12n

，/(x)是以12n为周期的函数

(2)f(x)=sin2x+cosTTX

f\(x)=sin2x周期为n

f2{x}=COS7TX周期为2

Vn和2没有最小公倍数

/(X)不是周期函数

(3)/(x)=sin2x+(l-sin2x)

力(x)=sin2x周期为口

心(x)=l-sin2x周期为“

虽然力(x)，；2(x)不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍数。

但是/(x)=/i(x)+/2(x)=l，却不是周期函数。(因为没有最小正周期。)

【例4】设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f'(x)ga)—f(x)g'(x)<0,则

当时，下列结论成立的是()

(A)/(x)g(b)>/(b)g(x)(B)/(x)g(a)〉/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>/(b)g(b)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

"'(x)g(x)-/(x)g'(x)]<0，,44单调减少

解

g(x)

于是x<6,则有_)>"),故(A)成立。

g(x)g(b)

§1.2极限

(甲)内容要点

一、极限的概念与基本性质

1.极限的定义

(1)limx“=A(称数列｛x.｝收敛于A)

任给£>0,存在正整数N,当n>N时，就有|X八-A|<£.

(2)lim/(x)=A

X-»+oo

任给£>0,存在正整数X,当x>X时，就有|/(x)—川<£.

(3)limf(x)=A

XT—

任给£>0,存在正整数X,当x>—XiH：就有|/。)一4卜£.

(4)lim/(x)=4

X->00

任给£>0,存在正整数X,当lxl>X时，就有|/(x)-川<£.

(5)lim/(x)=A

任给£>0,存在正数b,当0<卜一/|<6时，就有|/(x)-川<£。

(6)lim/(x)=/l(用/(x0+0)表示)

任给£>(),存在正数b,当O<X-Xo<b时，，就有,(X)-A]<£

(7)lim/(x)=A(用/(X。一0)表示)

任区合£>0,存在正数6,当一5<x—Xo<0时，就有|/(x)—川<£。

其中〃/+0)称为“X)在/处右极限值，"尤。-0)称为“X)在4处左极限值。

有时我们用lim/(x)=A表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极

限皆具有这种性质。有时我们把x“=/(〃)，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特

例，以便于讨论。

2.极限的基本性质

定理1(极限的惟一性)设=limf(x)=B,具！JA=3。

定理2(极限的不等式性质)设lim/(x)=A,limg(x)=3

若x变化一定以后，总有〃x)Ng(x),则AN8

反之，A>B,则x变化一定以后，有/(x)>g(x)

(注：当g(x)三()，3=0情形也称为极限的保号性)

定理3(极限的局部有界性)设lim/(x)=4,则当x变化一定以后，“X)有界

的。

定理4设lim/(x)=A,limg(x)=8

则(1)lim[/(x)+g(x)]=A+B

⑵lim[/(x)-g(x)]=4-B

⑶lim[/(x)g(x)]=AB

(4)lim^44=—(八0)

g(x)B')

(5)=A"(A>0)

二、无穷小量

1.无穷小量定义：若lim/(x)=(),则称/(x)为无穷小量

(注:无穷小量与x的变化过程有关，lim」=0,当x-8时,为无穷小量，而xf5

XTrX

或其他时，!不是无穷小量)

X

2.无穷大量定义：任给M〉0,当x变化一定以后，总有，则称/(X)为

无穷大量，idlim/(x)=oo0

3.无穷小量与无穷大量的关系：在x的同一个变化过程中，若/(x)为无穷大量，则

才行为无穷小量，若“X)为无穷小量且/(X)HO,则宗J为无穷大量。

4.无穷小量与极限的关系

limf(x)=Ao/(x)=A+«(x)其中lima(x)=0

5.两个无穷小量的比较

设lim/(x)=(),limg(x)=(),且lim/=/

(1)/=0,称/(x)是比g(x)高阶的无穷小量，记以/(x)=o[g(x)]

称g(x)是比“X)低阶的无穷小量,

⑵00,称“X)与g(x)是同阶无穷小量。

(3)/=1,称〃x)与g(x)是等价无穷小量,记以“X)g(x)

6.常见的等价无穷小量当Xf0时

sinxx,tanxxarcsinxxarctanxx

(1，X,

1-cosx—x~,eT-lxln(l+x)x(l+x)(，-1ax(a为实常数)。

2

7.无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法

1.利用极限的四则运算和幕指数运算法则

2.两个准则

准则1单调有界数列极限一定存在。

(1)若Zx(〃为正整数)，又土之机(〃为正整数)

则lim=A存在且A>m

n->oo

(2)若相+1(〃为正整数)，又x“Wm(〃为正整数)

则lim%=A存在且44加

”f8

准则2(夹逼定理)设g(x)Kf(x)K〃(x)

若limg(x)=A,lim/i(x)=A»则lim/(x)=A

3.两个重要公式

公式2lim|1+—j=e；limf1+—|=e；lim(l+vV=e

«->oo(几jM—>ooIJv—>0'

4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

5.用泰勒公式(比用等价无穷小量更深刻)

2

y-

当x—0时e*=l+x+—十…，*+。(当

2!

炉5y2”+l

.AAr/t\n2,,+l

sinx=X------F----F・・・+(-l/~r+o(x)

3!5!v7(2n+l)!''

[XX/\n

COSX—\----------1-----------•,4-1—11乙+。(一)

2!4!')

ln(l+x)=+------+(T)'""+"x")

n')

35丫2〃+1

xx/n〃2n+

arctanx=x----+-------+一1-+o(x')

35V72〃+1')

.a31Hg-(〃-明"为实常

(1+x)=l+ax+---------+・•

''2!〃！17

数)

6.洛必达法则

号型)设(1)limf(x)=0,limg(x)=0

法则1

(2)x变化过程中，/(x),g〈x)皆存在

(3)lim'=4(或oo)

g'(x)

则lim'=A(或oo)

g(x)

(注：如果lim勺?不存在且不是无穷大量情形，则不能得出limg?不存在且不是

S(x)g(x)

无穷大量情形)

法则2—型|设(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo

(2)x变化过程中,f'(x),g'(x)皆存在

(3)lim=A(或oo)

g'(x)

则lim=A(或8)

g(x)

7.利用导数定义求极限

基本公式：lim［如果存在］

8.利用定积分定义求极限

基本公式：则岳D»(x)dx

［如果存在］

9.其他综合方法

10.求极限的反问题有关方法

(乙)典型例题

-、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

amX'"+am-\X"'+^()

【例1】设R0,b”H0,求lim

x-»oo…+3+瓦

解hm」2-----如一：--------!-----2-

0n

ifhnx+bn_}x+---+btx+b0

m+即厂"']

1.x-"\ain,+ain—ni|/+…+ai.x'-'"u

=lim----------：---------：-------------

n

isb,x+…+〃+bQx

0当时

=<—当时m-n

b〃

00当时机〉〃

【例2】设Irl<1,求lim(Q+〃r+・・・+ar'i).

11n-><x

解lim(a+〃〃+・・•+arn~])=alim------=------

〃一>8n—>ooi一厂]—r

特例：(1)求lim+(|)—…+(_1)"’(|)

2

2272

解例2中取,r=——,可知原式=

335

n

i+i+...+m

(2)lim-------------2_4

区-=

"TOO|1T3

1d----+

332

nn+1r\n

【例3】求limJ

"fg2用+3"

解分子、分母用3"除之,

3-f2T

原式=!吧/一=3

<3j+1

（注：主要用当卜|<1时,limr"=0)

n->x

”1

【例4】设/是正整数,求limV---------

…七k(k+l)

111

解

k(k+1)l\kk+l

n1

・N—Id1-…-l-----------

k=lk(k+l)/2/H+1〃+/

因此原式=711+5H-----FjJ

特例：(1)limV-----------=1(/=1)

…白人(攵+1)

"11(]、3

(2)limY---=-1+-(1=2)

，一占左伏+2)212)4

_.、门八、]①皿_11+d1+(〃-Y)d

【例6】设d>0为常数，求hm—+——+•••+———------

8n-nn-

解原式=lim—^{1+[1+(〃—l)d]}二万

特例：[d—1)lim--H—^+・,・H--=一

“一8nn"n2

zjc、r]327i—11

(d=2)lim—+—+•••+———=1

isnnn

【例7】求下列各极限

rJ1+X—yj\-X.A/1+X—yJl—X

(1)lim---------------------(2)hm---------------------

XTO%KTO%

原式用匹=2=1

解(1)解-

“f°Jl+x+Jl-x)2

(Jl+冗-1)

解二原式=lim

x->0X

等价无穷小量代换「

----------------lim=1

XTOX

解三用洛必达法则1

1__j(-1)]

原式=lim2归L匕了引=]

x->01

(l+x)_0_x)______________2

(2)解一原式=hm—

x->0

x标y+(m)尸)+尸

解二类似(1)中解二用等价无穷小量代换

解三类似(1)中解三用洛必达法则

【例8】求下列极限

(1)设卜|<1,lim(l4-r)(l+/)…(1+/)

1一/1

解(1)分子分母都乘l-r,则原式=lim------=——

〃->81一r1-r

(2)原式=++q…(1--)(1"1—

..1324〃一1几+1..〃+11

=hm------------------=lim----=—

282233nn〃―002n2

二、用两个重要公式

XXX

[例1]求limcos—cos---cos—。

i242〃

解当x=0时，原式二1

2.XXXX

2sin——cos—cos---cos——

当XW0时，原式二lim-----或——Z一------

-02nsin—

X

„-lXXX.X

n2cos-cos---cos——sin——

二lim______2_4_____空r―空r

…2/fsin—

T

X

sinx「sinx2n_sinx

hm-------=hm----

"T8x〃T8x

，sin—

T

vlim———=1

”->8.X

【例2】求下列极限

⑵1*)

2(x+10)

(2)解一

解二lim

x->0

【例3】

4

(1)lim(l+tanx)colr(2)lim尤a

.t->0

(3)lim(cosx)cot

解(1)令tanx=f则cotx=L当x->0时ff0

于是lim(l+tanx)cotx=lim(l+r)f=e

x->0t->0

(2)令x-l=E则工=1+1，当x-1时，t-^0

44r!-|4

于是limxr-1=lim(l+f)'=lim(1+/V

x->l，T0/->0,

cos2x]COS?》

lim(cosx)corx=lim(l-sin2x)2sin2r=lim「l+(-sin2x)~|卜加。)(F

x->0X->0X->0L」

JI

=e5

三、用夹逼定理求极限

【例1】求lim(一1乙3一52/7-1

"T82462n

1352n-\242n

解令、"=5百

2n352/?+1

1

则Ooc<y,于是0<x?<xv=-----

nn〃〃"2n+l

由夹逼定理可知limx：=0,于是原极限为o.

XTco

【例2】求下列极限

1

(1)limV(2)limV----

+k〃+°普7厂+〃+左

n/1n

解(1)v.<y

J/+〃&=1J/仙J"+1

n1

而1v1m,----==lim,=1

>00n2+n

lim

由夹逼定理可知limV/

…仁城+女

.1+2+…+〃k1+2+…+〃

(2)---------<-----------

2

n+〃+〃k=l

1/八

-»(«+1)]

..1+2+…+〃].

而lim----z--------=lim

“TOOn+2〃〃一>8〃(〃+2)2

1/八

—H(H+1)

..1+2+…+〃「

lim——----------=lim

“T8n~+n+l“T8/+〃+12

则夹逼定理可知limY

/+〃+左2

四、用定积分定义求数列的极限

【例1】求阳

分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑

22

nfinn

—<y-------<------

几2+k2n2+12

右」，加二=1

而lim

“Toon+n2w-*°°n+1

由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.

1n1

limYnlim—V

解2

+k?"Toofl

/dxii71

-----=arctanx\

J)l+x2104

1P+21'+...ip

[例2]设p>l,求lim—~~+t-

'〃+O九P+1

解原式=lim,£(8丫

—°〃台⑺

=xpdx

1

P+1

五、用洛必达法则求极限

000

1,型和“一”型.

0oo

【例1】求lim^^——产.

.18.31

sin*—

n

解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑

x-sinx「x-sinx

limlim--------

33

XT。sinxI)Y

1-cosxsinx1

=lim-------=lim----=一

103r“T06x6

原式=L

_£

2

【例2】求lim=

Dx10

解若直接用3型洛必达法则1,则得lim（不好办了，分

ox->0

母X的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令二=f

X

ex~etoo

于是lim—=lim—=lim—(“一”型)

XTO'fT+00/QQ

=lim——=•••=lim—=0

-d/-»■+<»/

2.“8-8”型和“0•8”型.

［例I］求lim-———

ex-\)

x

A..rii)—i)—xo］

解7Jlim--------=lim-------——(/“a一”型)

xx

x—oIxe-\)ioX(e-1)0

=lim-----------=lim-----------

k-oxexx->oex+e*+xex

=lim----=—

x—>o2+x2

if•/1cos-x.

【例2】求hm(——------3—).

XT°sinxx

2—si•n2xcos2x

解原式=lim~~2

x->0xsinx

x2--sin22x

4

4.

2x——sin2xcos2x

=lim----------------

104X

1.4

x——sin4x

=lim——---

io2x3

..1-cos4x..4sin4x4

=lim-------=hm-------=—

2

I。6xXT。12x3

［例3］求limsin2xlnx.

X->o+

cInxoo

解原式=limxInx=lim(“一”型)

x->0+.r->0+X00

X

lim-----=0

Xfo+-2x

3.«rw型，“o°”型和“8°”型

这类都是lim[/(x)]gU)形式,可化为Jmg*)间"刈，而]img(x)ln[/(x)]龌“0•8'

型，按2的情形处理.

【例1】求lim/春.

x->0+

解令y=/n2x,iny=sin2xlnx

limIny=limsin2xlnx=0(见2中例3)

.r->0+x->0+

limy=e0=I

A->0+

【例2】求15(COSX『门(前面已用重要公式的方法).

Co[2]

解令y=(cosx)3iny=cot2xlncosx

.....21「Incosx..Incosx

lim\ny=limcotxIncosx=lim------=lim------

.soX-OXT°tan-xXT°x

(“一”型)=lim------=——,/.limy=e

0I。2x2so

【例3】求lim

si/+"

解令丁=sin—+cos—，lny=xln

kxx)XX)

Insin—+cos—.

「11.Ixx)ln(sinr+cosz)

limIny=lim---------------=lvim------------

XTOOXT81Z->0f

X

「cosz-sinr

=lim--------------=1t

…°sin/+cos/

Alimy-e

XT8

六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

r.-川寸〃~+〃+l.r~2r

[例1]求hm---------sin+1.

”->°03〃+1

3111

&力4〃~+〃+i-/八.r-2r八

解・lim-------------=Iim-----------------=0,sin\/?24-1<1

“T83〃+1〃f83+1

n

根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，可知原式=0.

分—(1-cos2x)arctan3x

［例2］求hm-------------------------.

(ex-1)ln(1+2x)sin5x

解用等价无穷小量代换

l(2x)2(3x)a

原式=lim----------------—

i>x(2x)(5x)5

.1

3asinx+x-2cos—

【例3】求lim-------------------心.

1。(1+cosx)ln(l+x)

解这个极限虽是“9”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛

0

必达法则.

「sinx1

13--------+XCOS—3

原式=limxx

i01+cosxln(l+x)2

x

七、用泰勒公式求极限

13

sinx-x+一丁

【例1】求lim---------一一

XTOX

工3Y5

解sinx=x------1-----F)(当x—0时)

3!5!

5

x、

一+o（x5）

原式加「一I1

=12=

2。X55!120

八、用导数定义求极限

【例"设小。）=2,求㈣/&3"）7上2-）.

解原式一lim［/（/+3Ax）一/（/）］一［/（/一26）一/（入0）］

AVTOM

=3/(x°+3Ar)-/(Xo)」(为一一

lim+2lim2A07(%)

Arf0

加TO3Ax(-2Ax)

=3/(玉))+2/'(/)=5/'(%)=1

2

【例2】设曲线丁=/。）与〉=国11不在原点相切，求1加4（一）・

«->0°n

解由题设可知,/■(())=0,f'(0)=(sinx)140=1

噌二（0）

了是lim22r(0)=2

“T82一0

n

九、求递归数列的极限

1a、1

【例1】设。>0,西b>0,一再1+一+----求

2-〃一»oo

x\)Xn-\>

解・・・X〃>y[a>0（算术平均值）几何平均值）

又引十1<0,则x〃+i4x”

2X"

因此｛4｝单调减少，又有下界，根据准则1,limx.=A存在

、

把/=；+—a两边取极限，得A+qa

X"-l

Xn-\)24

2

A=afVA>0,.・・取/1=夜，于是lim%=夜

n—>00

卜、求分段函数的极限

【例1】求下列函数在分段点处的极限

sin2x

x<0

X

/(x)=,

X"2

x>0

1-cosx

sin2x「sin2x.

解/(O-O)=limlim2-----=2

KT。一xXT。-2x

Y2

/(O+O)=lim-----------l-im--二2

90+1-COSXXTO*1,

_JC

2

：.lim/(x)=2