创新设计（江苏专用）2023届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何教师用书理

专题四立体几何教师用书理一、填空题1.(2023·浙江卷改编)互相垂直的平面α，β交于直线l，且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出以下结论：①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n.那么上述结论正确的选项是________(填序号).解析由，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，③正确.答案③2.圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，那么该圆柱的外表积为________.解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的外表积为4π＋2π＝6π.答案6π3.(2023·徐州、宿迁、连云港模拟)圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，那么此圆锥的体积为________cm3.解析设圆锥底面圆的半径为r，母线为l，那么侧面积πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，那么高h＝eq\r(l2－r2)＝8，那么此圆锥的体积为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×36×8＝96π.答案96π4.如下图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________.解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2.∵ABCD是正方形，E是AC的中点，∴△CED是等腰直角三角形.AB＝1，故CE＝ED＝eq\f(\r(2),2)，S△CED＝eq\f(1,2)CE·ED＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).故VC­PED＝VP­CED＝eq\f(1,3)·S△CED·PA＝eq\f(1,3)·eq\f(1,4)·2＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，假设EF∥平面AB1C，那么线段EF的长度等于________.解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)6.(2023·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出以下命题：①假设b⊂α，c∥α，那么b∥c；②假设b⊂α，b∥c，那么c∥α；③假设c∥α，α⊥β，那么c⊥β；④假设c∥α，c⊥β，那么α⊥β.其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).解析①中直线b，c平行或异面，那么①错误；②中c∥α或c⊂α，那么②错误；③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，那么③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④.答案④7.(2023·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和外表积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，假设eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，那么eq\f(S1,S2)的值为________.解析棱长为a的正方体的体积V1＝a3，外表积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝eq\f(1,3)πr3，侧面积S2＝eq\r(2)πr2，那么eq\f(V1,V2)＝eq\f(a3,\f(1,3)πr3)＝eq\f(3,π)，那么a＝r，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,\r(2)πr2)＝eq\f(3\r(2),π).答案eq\f(3\r(2),π)8.(2023·无锡高三期末)如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，那么O到平面VAB的距离为________.解析由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝eq\f(1,3)S△AOB·VO＝eq\f(1,6).△VAB是边长为eq\r(2)的等边三角形，其面积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2)，设点O到平面VAB的距离为h，那么V三棱锥O－VAB＝eq\f(1,3)S△VAB·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)h＝V三棱锥V－AOB＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，即点O到平面VAB的距离是eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)二、解答题9.(2023·江苏卷)如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，EF＝eq\f(1,2)BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.10.如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；(3)假设A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F­ABC的体积.(1)证明如图连接A1C.∵直三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1C1C是矩形.∴点F在A1C上，且为A1C的中点.在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)证明∵直三棱柱A1B1C1­ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC.又∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B1B⊥EF.∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB1A1.(3)解VF­ABC＝eq\f(1,2)VA1­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×S△ABC×AA1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×2a＝eq\f(a3,6).11.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.所以BE⊥