选修2-3学案第1章计数原理1-2-2

1.2.2组合课时目标1.理解组合的概念，理解排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合一般地，从n个________元素中，任意________________________________，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法组合数公式乘积形式Ceq\o\al(m,n)＝____________________阶乘形式Ceq\o\al(m,n)＝________性质Ceq\o\al(m,n)＝____________；Ceq\o\al(m,n＋1)＝________＋________备注①n，m∈N*且m≤n②规定Ceq\o\al(0,n)＝13.排列与组合(1)两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、选择题1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有()A．60种 B．36种 C．10种 D．6种2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为()A．3 B．4 C．12 D．3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有()A．Ceq\o\al(3,10)种 B．Aeq\o\al(3,10)种C．Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,7)种 D．Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)种4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为()A．32 B．31 C．25 D．5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有()A．30种 B．36种 C．42种 D．48种6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)二、填空题7．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．8．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．9．若对?x∈A，有eq\f(1,x)∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合，则集合M＝{－1,0，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题10．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有2件是次品；(3)至少有2件是次品．11．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升12．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．13．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步乘法计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．1．2.2组合答案知识梳理1．不同取出m(m≤n)个元素合成一组2．所有不同组合的个数Ceq\o\al(m,n)eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)eq\f(n！,m！?n－m?！)Ceq\o\al(n－m,n)Ceq\o\al(m,n)Ceq\o\al(m－1,n)13．(2)有关无关作业设计1．C[所求为5选3的组合数Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．]2．B3．D[每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有Ceq\o\al(1,3)种选法；第2步，选男工，有Ceq\o\al(2,7)种选法；故有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)种不同选法．]4．B[因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开1个灯有Ceq\o\al(1,5)种方法，开2个灯有Ceq\o\al(2,5)种方法，……5个灯全开有Ceq\o\al(5,5)种方法，根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(5,5)＝31(种)．]5．C[若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有Ceq\o\al(1,4)种选法，然后4日、5日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种安排方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．]6．C[从后排8人中选2人，有Ceq\o\al(2,8)种选法，这2人插入前排4人中且保证其他人的相对顺序不变，则先向前排4人中(5个空档)插入1人，有5种插法，余下的1人则要插入前排5人中(6个空档)，有6种插法，即2人共有Aeq\o\al(2,6)种插法，所以共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)种不同调整方法．]7．600解析可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有Aeq\o\al(4,5)＝120(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．8．432解析分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种．故满足题意的所有不同的排法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432(种)．9．15解析具有伙伴关系的元素组有－1；1；eq\f(1,2)，2；eq\f(1,3)，3，共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝15.10．解(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,97)＝(种)．(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＝(种)．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)种．第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)种．按分类加法计数原理有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)＝(种)．11．解设A，B代表2名老师傅．A，B都不在内的选派方法有Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,4)＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(3,4)＝40(种)；所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．12．90解析分成3组有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15(种)分法．分赴世博会三个场馆有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方法，∴共有15×6＝90(种)．13．解设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有Ceq\o\al(3,9)种选法．因是分步问题，所以有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,9)种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有Ceq\o\al(2,3)种选法，在C中选1人，有Ceq\o\al(1,5)种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人，有Ceq\o\al(3,8)种选法．因是分步问题，所以有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,8)种选法．类似地，第③类，有Ceq\o\al(1,3)·Ce