平面向量基本定理（原卷版）

9.3.1平面向量基本定理一、平面向量基本定理1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3、对平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．二、平面向量基本定理的应用1、平面向量基本定理唯一性的应用：设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则（2）重要结论设是平面内一个基底，若，=1\*GB3①当时，与共线；=2\*GB3②当时，与共线；=3\*GB3③当时，；题型一对平面向量基本定理的理解【例1】（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.【变式1-1】（2022春·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）A．和B．和C．和D．和【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（）A．和B．和C．和D．和【变式1-3】（2022春·甘肃武威·高一统考期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，题型二用基底表示向量【例2】（2022·高一）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（）A．B．C．D．【变式2-1】（2022春·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（）A．B．C．D．【变式2-2】（2022·全国·高一）如图，矩形与矩形全等，且．（1）用向量与表示；（2）用向量与表示．【变式2-3】（2022春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.（1）若，以，为基底表示向量与；（2）若，求的取值范围.题型三利用平面向量基本定理求参数【例3】（2022春·四川凉山·高一统考期末）在中，点D在边AB的延长线上，，，则（）A．B．C．D．【变式3-1】（2022春·安徽宣城·高一统考期末）中，点为上的点，且，若，则（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022春·陕西延安·高一校考期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（??）A．B．C．2D．【变式3-3】（2022春·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（）A．B．C．D．题型四平面向量基本定理的应用【例4】（2022春·江西南昌·高一统考期末）如图，在中，D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且，若，，则______.【变式4-1】（2022·高一课时练习）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．B．3C．D．【变式4-2】（2022春·广西梧州·高一统考期末）已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则________．【变式4-3】（2022春·甘肃白银·高一统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾