播放版第10章含有耦合电感电路

播放版第10章含有耦合电感电路重点互感和互感电压的概念及同名端的含义；含有互感电路的计算；空心变压器和理想变压器的电路模型。耦合电感的同名端及互感电压极性的确定；含有耦合电感的电路的方程含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。难点本章与其它章节的联系本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。2/14/20232耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中：如电力变压器；2/14/2023310kVA~300kVA的大功率单相、三相电源变压器；2/14/20234收音机、电视机中使用的中周线圈(中频变压器)、振荡线圈；2/14/20235焊接设备使用的主变压器、控制变压器；整流电源里使用的电源变压器；2/14/20236其它各种类型的变压器。它们都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法非常必要。2/14/20237§10-1互感1.互感的概念L1N111'i1F11i1产生的磁通为F11(符合右手螺旋法则为关联参考方向)。F11穿越自身线圈时，产生的自感磁通链当i1变化时，将产生自感电压u11。-+u11若u11与i1取关联参考方向则u11=dtdY11=L1dtdi1定义为：Y11=L1i1(1)一个线圈的情况一个线圈没有互感问题，再看两个线圈的情况。2/14/20238(2)两个线圈的情况载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。Y1=Y11±Y12Y2=Y22±Y21F21同理：i2通过L2时也产生磁通F22。F22F12F22的一Y22=L2i2。部分F12也穿过L1。磁通链当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：L1N111'i1F11-+u11L2N22'2i2L1产生的磁通(F11)，有部分穿过临近线圈L2(F21)，称互感磁通，磁通链为Y21。2/14/20239(3)互感系数存在磁耦合的两个线圈，当一个线圈的磁通发生变化时，就会在另一个线圈上产生感应电压，称互感电压。此即互感现象。Y12=M12i2，Y21=M21i1。不管是自磁链，还是互磁链，都与它的施感电流成正比：Y11=L1i1，Y22=L2i2；M12和M21称互感系数。简称互感，单位是H。F21F22F12L1N111'i1F11-+u11L2N22'2i22/14/202310磁通链可表示为：

注意：Y1=L1i1±Mi2①M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21=M。②L总为正值，M值有正有负。M为正值，表示自磁链与互磁链的方向一致，互感起增助作用，为负值表示自磁链与互磁链方向相反，互感起削弱作用。Y2=

L2i2±Mi12/14/202311互感现象变压器：传递功率、传递信号；利用之。产生干扰；避免之。加屏蔽合理布置线圈相互位置电抗器电抗器的磁场屏蔽前屏蔽后措施：2/14/2023123.耦合电感上的电压、电流关系自感电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：u11=dtdY11=L1dtdi1互感电压u21=dtdY21=Mdtdi12/14/202313Y1=Y11±Y12=L1i1±Mi2u1=u11+u12Y2=Y22±Y21=L2i2±Mi1=L1dtdi1±Mdtdi2u2=u22+u21=L2dtdi2±Mdtdi1在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：.U1=jwL1.I1±

jwM.I2.U2=jwL2.I2±jwM.I1注意

两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：①与电流的参考方向有关；②与线圈的相对位置和绕向有关。2/14/2023144.互感线圈的同名端对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中显得很不方便。L1L2+-+-u1u2i1i211'22'M为解决这个问题引入同名端的概念。实际的互感线圈是封闭的，看不出绕向在电路图中也无法反映绕向2/14/202315同名端当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。用“•”或“*”或“△”等标记。F11L1-+u1L2-+u21L3-+u31i2••i3**△△注意线圈的同名端必须两两确定，一对对标记。i1无标记的一对端点也是同名端。2/14/202316同名端的判别方法1、2是同名端ML1L2+-+-u1u2i1i211'22'(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。11'22'L1L2(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。表明：同名端的互感电压极性相同。i1i2**2/14/202317同名端的实验测定接线如图，当开关S闭合时，i增加：u2=

Mdtdi1dtdi1>0电压表正偏。ML1L21234+-u1i1USS+-u2接线图mV+->0依据：同名端的互感电压极性相同。因1、3是同名端，故当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用这一结论来加以判断。2/14/2023185.由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i的参考方向即可。L1i1-+u21ML2L1i1+-u21ML2u21=

Mdtdi1u21=-

Mdtdi1若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考“+”极在L2的同名端。2/14/202319u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2u2=

L2dtdi2

+

Mdtdi1L1+-u1i1M+-u2i2L2练习：列出耦合电感的VCRu1=

L1dtdi1

-

Mdtdi2u2=

L2dtdi2

-

Mdtdi1L1+-u1i1M-+u2i2L2若施感电流为同频率正弦量，则相量形式为：u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2u2=-

L2dtdi2

-

Mdtdi1L1+-u1i1-+u2L2Mi2.U1=jwL1.I1+jwM.I2.U2=-jwL2.I2-jwM.I12/14/202320同名端的判别在实践中占据重要地位。正确的连接：无论串还是并，互感应起“增助”作用。L1L2124TrL3110V110V3L12接3(串联)后，可将1、4接在220V的电源上使用。1接3、2接4(并联)后，可用在110V的电源上。而在含有互感线圈(变压器耦合)的振荡电路中，若搞错同名端，则电路不起振。例如：需要顺向串联的两个互感线圈，若错接成反向串联，则使输入阻抗减小，导致电流增大，将会烧坏线圈。2/14/2023216.耦合因数k一般情况下，一个线圈通电后所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密。工程上常用耦合因数k表示其紧密程度：11'22'L1L2i1F21漏磁通F1sF11=F21+F1skdelY12Y11·Y21Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2i2k=L1L2M≤10≤k=1为紧耦合。Y12=Mi2，Y21=M

i1得k的大小与两线圈的结构、相对位置和周围的磁介质有关。2/14/202322§10-2含有耦合电感电路的计算计算方法概述方法1：直接列写方程法与一般电路相比，在列写互感电路方程时，除考虑自感电压外，还要考虑互感电压，并注意极性。一般采用支路法和回路法计算。对互感电路的正弦稳态分析，用相量形式。方法2：互感消去法(去耦等效法)

通过列写、变换互感电路的VCR方程，可以得到一个无感等效电路。分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。2/14/202323

方法3：受控源替代法重复前面的话：若i2从L2的同名端流入，则i2在L1中引起的互感电压参考“+”极在L1的同名端。11'L1+-u1i1M22'L2+-u2i2.U2.I2jwL1jwM.I1.I211'+-jwL2jwM.I122'+-.U1用相量形式的CCVS替代互感电压，从而将互感电压明确地画在电路中。控制量为相邻电感的施感电流。被控量为互感电压，若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考“+”极在L2的同名端。+-+-极性根据同名端确定。2/14/2023241.耦合电感的串联(1)L1、L2反向串联时，无感等效电路如下u1=

R1i+

L1dtdi

-Mdtdi=

R1i+(L1-M)dtdiu2=

R2i+

L2dtdi-Mdtdi=

R2i+(L2-M)dtdi互感起“削弱”作用。由KVL(注意互感)得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R22/14/202325相量形式：.U1=

R1.I+jw(L1-M).I=

Z1.I.U=.U1+.U2=(Z1+

Z2).I=

Z.Iu1=

R1i

+(L1-M)dtdiu2=

R2i

+(L2-M)dtdi式中Z1=

R1+jw(L1-M).U2=

R2.I+jw(L2-M).I=

Z2.I式中Z2=

R2+jw(L2-M)Z

=Z1+Z2

=(R1+

R2)

+jw(L1

+L2-2M)由KVL：jw(L1-M)+-+-R1R2+-.U.U1.U2.Ijw(L2-M)

=R

+jw

LR+-.U.IjwL2/14/202326①互感的“削弱”作用类似于“容性”效应。②由于耦合因数k≤1，所以(L1+L2-2M)≥0。电路仍呈感性。③(L1-M)和(L2-M)有可能一个为负，但不会都为负。Z

=Z1+Z2

=(R1+

R2)

+jw(L1

+L2-2M)=R+jwL注意当反向串联时，由于互感的“削弱”作用，使每一条耦合电感支路阻抗(Z1、Z2)和输入阻抗Z都比无互感时小。2/14/202327(2)顺向串联用同样的方法得到：Z1=

R1+jw(L1+M)Z2=

R2+jw(L2+M)综上：两个串联的耦合电感可以用一个等效电感L来替代：Z

=(R1+

R2)

+jw(L1+L2+2M)去耦等效电路jwL1+-+-jwMR1R2+-.I.U.U1.U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+-.U.U1.U2.Ijw(L2+M)L

=

L1+

L2±2M顺接取“+”，反接取“-”。2/14/202328解题指导：电路如图，L1=0.01H，L2=0.02HR1=R2=10W，C=20mF，M=0.01H，U=6V。L1+-+-L2R1R2+-.U.I.U1.U2CMw=1000rad/s等效复阻抗为：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M)

-wC1求I、U1、U2。...解：L1改为L1-ML2改为L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1.U2Cw=1000rad/s代入数据求得：Z=20-j40=

44.7-63.4oW耦合线圈为反向串联去耦等效电路2/14/202329.U1=[R1+jw(L1-M)].I=1.3463.4oV可进一步分析功率、串联谐振等问题。Z=20-j40=

44.7-63.4oW设.U=

60oV则：.I=Z.U=60o44.7-63.4o=

0.13463.4oA.U2=[R2+jw(L2-M)].I=1.90108.4oVL1-M+-+-L2-MR1R2+-.U.I.U1.U2Cw=1000rad/s2/14/2023302.耦合电感的并联①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM.U

=jwL1.I1+jwM.I2.U+jwL2.I2=jwM.I1.I3

=.I1+.I2.U.I1

=jwL1+jwM.I3-.I1()=jw(L1-M).I1+jwM.I3

(1)同侧并联同名端接在同一结点上。把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得.U

=jwM.I3-.I2().I2

+jwL2=jwM.I3

+jw(L2-M).I22/14/202331.I3jwM.I1jw(L1-M)+-.U.I2jw(L2-M)②①.U

=jw(L1-M).I1+jwM.I3

.U=jwM.I3

+jw(L2-M).I2由以上两个方程得到(2)异侧并联去耦等效电路的推演过程从略。异名端连接在同一个结点上。①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM2/14/202332并联时的去耦方法归纳如下：使用条件：两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同减异加另一侧可任意联接。2/14/202333例：求图示电路的开路电压。解法1：列方程求解。由于L2中无电流，故

L1与L3为反向串联。所以电流

.US.I1=R

+jw(L1+

L3-2M31)

.UOC

.I1-jwM23.I1-jwM31.I1=jwL3.I1开路电压为L2、L3两端的电压(注意互感电压)将电流表达式代入得

.UOC

=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(M12-M23-M31+L3)

.USL2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R+jwM122/14/202334例：求图示电路的开路电压。解法2：互感消法。作去耦等效电路，一对一对地消去互感。L1-M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31M23RL2-M12L1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1、L2为同侧并联，消去互感的等效电路消去L2、L3之间的互感。2/14/202335例：求图示电路的开路电压。L1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R解法2：互感消法。作去耦等效电路，一对一对地消去互感。L1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23消去L1、L3之间的互感。2/14/202336由无互感电路得开路电压

.UOC

=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(L3+M12-M23-M31)

.US例：求图示电路的开路电压。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31解法2：互感消法。作去耦等效电路，一对一对地消去互感。2/14/202337§10-3耦合电感的功率当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。电源提供的有功功率，在通过耦合电感的电磁场传递过程中，全部消耗在电路中所有的电阻上(包括耦合电感线圈自身的电阻)。在含有耦合电感的电路中，两个耦合的电感之间无功功率相等，有功功率或者均为零，或者通过磁耦合等量地进行传输，彼此平衡。2/14/202338例10-6：R1=3W，R2=5W，

wL1=7.5W，wL2=12.5W，wM=8W，US=50V。求电路的复功率，并说明互感在功率转换和传递中的作用。jwL1R1R2+-.US.I1jwL2jwMS.I2解：设.US=

500oV回路方程为：(R1+jwL1).I1+jwM.I2=.USjwM.I1+(R2+jwL2)代入数据解得：.I1=8.81-32.93oA.I2=5.24168.87oA=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2=0.I2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA2/14/202339互感电压发出无功功率补偿L1、L2中的无功功率。线圈1吸收137W功率，两耦合电感之间等量地传输有功功率，两者恰好=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1).I12+jwM.I2=.I1*L1中的无功功率为582乏，不能完全补偿，需电源提供(582-343)=239乏的无功功率。传递给线圈2，供R2消耗。jwL1R1R2+-.US.I1jwL2jwMS.I2说明：平衡，其和为零。2/14/202340电源提供的有功功率P=USI1cos32.93o=370W，其中.I2=5.24168.87oA.US=

500oV.I1=8.81-32.93oAR1=3W，R2=5WR1消耗I12

R1=233W，R2消耗I22

R2=137W，平衡。电源提供的无功功率Q=USI1sin32.93o=239Var，互感电压发出无功功率343Var，L1吸收的无功功率为582Var。也平衡。=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1).I12+jwM.I2=.I1*说明：2/14/202341注意：两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感M非耗能特性的体现。=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1).I12+jwM.I2=.I1*2/14/202342互感M是非耗能的储能参数，兼有L和C的特性。耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即：当M起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。=SS.US.I1*≈(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM.I1+(R2+jwL2).I2*=I22≈(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1).I12+jwM.I2=.I1*2/14/202343§10-4变压器原理1.常识变压器是电工、电子技术中常用的电气设备。有单相、三相之分。有便于调压的自耦变压器。在低频电路中使用的变压器，如电力变压器、电源变压器、音频变压器、仪用互感器等，采用高导磁率的铁磁材料制成心子(作为磁路)。在高频电路中使用的变压器，如振荡线圈、中周变压器等，则用铁氧体材料作为心子。频率很高时，用空(气)心。220V0～250V2/14/202344从原理上说，变压器由绕在一个共同心子上的两个(或更多的)耦合线圈组成。+-+-.U1.U2N1N2.I1.I2Tr变压器的图形符号与文字符号+-.USZL一个线圈(N1)作为输入，称初级绕组，或原边绕组，或原方绕组，或一次侧绕组等。初级绕组接电源。所形成的回路称初级回路或原边回路等。另一个线圈(N2)为输出，称次级绕组，或副边绕组，或副方绕组，或二次侧绕组等。次级绕组接负载。所形成的回路称次级回路或副边回路等。2/14/2023452.空心(非铁磁材料)变压器的模型与分析方法选绕行方向与电流参考方向一致，列回路电流方程。jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM(R1+jwL1).I1+jwM.I2=.U1jwM.I1+(R2+jwL2+ZL)=0原边和副边两个回路通过互感的耦合联列在一起。令Z11=

R1+jwL1称一次回路的阻抗。Z22=

R2+jwL2+ZL.I2(1)方程法分析称二次回路的阻抗。ZM=jwM称互感抗。2/14/202346则方程具有更简明的形式Z11.I1+ZM.I2=.U1ZM.I1+Z22.I2=0jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM解之.I1=

Z11-Z22.U1=Z11+(wM)2Y22

.U1Zi=.U1.I1=Z11+(wM)2Y22

.I2=-Z22ZM.I1Zi=2ZM为一次侧输入阻抗。注意：当二次侧开路，Zi=Z11(wM)2.U1-jwMZ22Z22[Z11+].U1-jwMY11=Z22+(wM)2Y11

.U2=-ZL.I22/14/202347(2)等效电路法分析jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM.I1=

Z11+(wM)2Y22

.U1由原、副边电流表示式.I2=-jwMY11Z22+(wM)2Y11

.U1Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

.I2-+jwMY11.U1Z22

(wM)2Y11原边等效电路副边等效电路得等效电路：从原边等效电路看出，变压器输入端口的工作状态隐含了二次端口的工作状态。2/14/202348(wM)2Y22称副边对原边的引入阻抗。(wM)2Y22=(wM)2|Z22|1-j所以又称反映阻抗。它是副边回路阻抗和互感抗通过互感反映到原边的等效阻抗。Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

原边等效电路从上式可以看出：反映阻抗的性质与Z22相反，即感性变容性，容性变感性。(wM)2Y22的实部称引入电阻。恒为正，表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。(wM)2Y22的虚部称引入电抗。其性质与副边电抗的性质相反。2/14/202349是副边开路时，原边电流引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。原副边回路虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产生电流，这个电流又影响原边电流和电压。jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM.I2-+jwMY11.U1Z22

(wM)2Y11副边等效电路jwMY11.U1在副边产生的互感电压。(wM)2Y11是原边对副边的引入阻抗。注意：利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路。.UOC2/14/202350列回路方程(R2+jwL2)(R2+jwL2).I

+jwM(-jwMY11.I

)=.UZ11.I1+jwM.I

=0.I

+jwM.I1=.U消去.I1Zeq

=.U.I

=(R2+jwL2)+(wM)2Y11.I2=

-jwMY11.U1Zeq+ZL原边对副边的引入阻抗。jwL2jwL1R1.I1.I-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.UjwM令Z11=

R1+jwL1.U1.UOC=jwMY11.I2-+.UOCZL

Zeq副边等效电路-+

.U22/14/202351空心变压器电路分析方法①方程法②等效电路法基于方程分析法得到原副边等效电路。还可以通过T型或G型等效电路分析。jwL2jwL1R1.I1.I2-+1'1

.U12'2R2ZL+-

.U2jwM.I2-+jwMY11.U1Z22

(wM)2Y11副边等效电路Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

原边等效电路去耦等效法即回路电流法，列方程时注意互感。对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。2/14/2023523.例题分析：思路1：利用等效电路。Z22=jwL2+ZL=3+j12W

-+

.U1M+-

.U2L1L2.I1.I2ZLL1=5H，L2=1.2H，M=2H，ZL=3W。求i1、i2。u1=100cos(10t)VZ11=jwL1=j50WjwM=j20W，ZL=3Wi2=8cos(10t+126.84o)Ai1=4.95cos(10t-67.2o)A由上述数据得(化为瞬时值).I2-+jwMY11.U1Z22

(wM)2Y11副边等效电路Z11.I1-+1'1

.U1(wM)2Y22

原边等效电路Y11=1/Z11，Y22=1/Z222/14/202353思路2：方程法分析。Z11.I1m+jwM.I2m=.U1.I1m+Z22.I2m=0jwM方程中：Z11=jwL1=j50WZ22=jwL2+ZL=3+j12W

.U1m=100jwM=j20W0oV化为瞬时值即可。j50.I1m+j20.I2m=100j20.I1m+(3+j12).I2m=0.I1m=4.95-67.2oA解之.I2m=8126.84oA代入得3.例题分析：L1=5H，L2=1.2H，M=