2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期期末数学试题

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.【详解】，.图中阴影部分所表示的集合为且.故选：D.【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.2．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件是（）A．①③ B．③⑤ C．①⑥ D．②④【答案】C【分析】利用三角函数值在各个象限的符号判断.【详解】为第二象限角的充要条件是：①，④，⑥，故选：C.3．若，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用不等式的性质的应用判断.【详解】由于，所以，对于A：当时，选项A才成立，故A错误；对于B：由于，所以，故B正确；对于C：当时，选项C才成立，故C错误；对于D：当，时，选项D错误.故选：B.4．若，，，则有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数为增函数，则；对数函数为增函数，则，即；对数函数为增函数，则.因此，.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.5．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】将函数y=sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x－)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）－)=y=sin(x－)，故选C6．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）(参考数据：)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.7．已知，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，化简则，从而可得结果.【详解】，，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8．设函数，.用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（）A．1 B．3 C．0 D．【答案】A【分析】根据题意作出的函数图象，根据函数图象求解出的最小值.【详解】令，解得或，作出的图象如下图所示：由图象可知：当时，有最小值，此时，故选：A.【点睛】思路点睛：求解形如（或）的函数的最小值（或最大值）的步骤：（1）根据，先求解出两个图象交点的横坐标；（2）根据图象的相对位置对图象进行取舍，由此得到（或）的函数图象；（3）直接根据函数图象确定出最大值（或最小值）.二、多选题9．下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断函数的单调性.【详解】对于A，，定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，不符合题意，对于B，，是正切函数，在定义域上不是增函数，不符合题意，对于C，，在定义域上既是奇函数又是增函数，符合题意，对于D，，其定义域为R，有，为奇函数，且在R上为增函数，符合题意，故选：CD.10．下列选项中，与的值相等的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D.【详解】.对于A，；对于B，；对于C，；对于D，因为，可得.∴与的值相等的是ABD.故选：ABD.11．已知函数的图象关于直线对称，则（）A．B．函数的图象关于中心对称C．函数在上单调递增D．若，则的最小值为【答案】BD【分析】根据题意，求得正弦型函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数的图象关于直线对称，可得，所以，所以函数，故有，故A错误；令，求得，可得函数的图象关于中心对称，故B正确；当，，函数没有单调性，故C错误；若，则和中，一个最大，另一个最小，可得的最小值，故D正确.故选：BD.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.12．已知，（常数），则（）A．当时，在R上单调递减B．当时，没有最小值C．当时，的值域为D．当时，，，有【答案】BD【分析】根据不同的值，研究函数的单调性、最值与值域等，从而可判断各选项．【详解】时，，，，在上不是减函数，A错；由上面讨论知时，在上是减函数，无最小值．而时递减，也无最小值，因此无最小值，当时，，是增函数，，但，不是的最小值，综上，无最小值，B正确；时，，，时，是增函数，，，∴的值域是，C错；时，时，，而时，，，因此，，使得．D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的单调性与值域，解题关键中根据的不同取值，确定函数的单调性，由单调性确定函数的值域．从而判断各选项．三、填空题13．函数的定义域为______．【答案】【分析】根据定义域的求法：（为偶数）、．【详解】由题意得【点睛】常见函数定义域的求法：（为偶数）14．已知，，且，则的最小值为______.【答案】9【分析】将，利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解.【详解】因为，，且，则，当且仅当且，即，时取等号，则的最小值9.故答案为：9.15．函数的部分图象如图所示，则_________.【答案】【分析】由函数图象可得最小正周期，进而求得，代入可求得，进而得到；代入，利用诱导公式可求得结果.【详解】由图可知，，即由得：，，故答案为：【点睛】本题考查根据图象求解函数解析式、诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够通过函数图象确定函数的最小正周期，同时利用最值点求得的值，从而得到函数解析式.四、双空题16．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.【答案】14【分析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出的图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,,故的取值范围是,故的最小值是1.又由图可知,,,故,故.故.又当时,.当时,,故.又在时为减函数,故当时取最大值.故答案为：(1).1(2).4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.五、解答题17．已知角的终边上一点，且。(1)计算及；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【分析】(1)本题首先可以根据角的终边上一点坐标为得出，然后根据即可通过计算得出，最后根据点坐标即可得出的值；(2)本题首先可以根据三角函数的诱导公式对进行化简，然后将带入即可求得结果。【详解】(1)因为角的终边上一点坐标为，所以，因为，所以，解得，，故。(2)。【点睛】本题考查任意角的三角函数值的相关性质的应用以及三角函数诱导公式的使用，考查同角三角函数关系，考查的公式有、、，等，考查化归与转化思想，是中档题。18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求的解析式，并补全的图象；（2）求使不等式成立的实数的取值范围．【答案】（1），作图见解析；（2）.【分析】（1）设，则，从而，然后由是偶函数求解；（2）由是偶函数，将原不等式转化为，再利用在上单调递增，由求解.【详解】（1）设，则，于是，又因为是偶函数，所以，所以；补全图象见下图．（2）因为是偶函数，所以原不等式等价于．又由（1）的图象知：在上单调递增，所以，两边平方得，即解得．所以实数的取值范围是．19．已知,其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可．（2）利用正切的两角和的三角函数，结合角的范围，求解角的大小即可．【详解】解：（1）因为，，所以所以所以，（2）因为，，所以，因为，，所以，所以所以【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的化简求值，是基本知识的考查．20．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：012300.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型，由试验数据得，，即，解得故所求函数解析式为：．（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），则所需时间为（小时），其中，结合（1）知，所以当时，．答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.21．已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最值及取到最值时x的值；（3）若函数在上有两个不同的零点，，求实数m的取值范围，并求的值.【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，；（2）时，取得最大值1；时，取得最小值；（3），.【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得的最大值和最小值，并指出取得最值时对应的x的值.（3）函数所在匀上有两个不同的零点，，转化为函数与函数有两个交点；可求m的范围，结合三角函数的图象可知，，，关于对称轴是对称的，可知，即可求的值.【详解】解：（1）函数，化简可得：，所以函数的最小正周期，由，解得：，所以函数的单调递增区间为，.（2）由于，可得，当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值.（3）函数所在匀上有两个不同的零点，，转化为函数与函数有两个交点，令，∵，∴，可得的图象(如图).从图可知：时，函数与函数有两个交点，其横坐标分别为，.故得实数m的取值范围是，由题意可知，是关于对称轴是对称的：那么函数在的对称轴，所以，所以.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数与函数有两个交点，进而讨论函数在上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.22．已知函数是定义域上的奇函数，且.（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；（2）令，设，若对任意，当时，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1），函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）.【分析】（1）根据函数是奇函数，由，得，两者联立解得a，b，进而可得函数的解析式，再利用单调性的定义证明函数的单调性.（2）由（1）得