高一数学-范题精讲(任意角的三角函数)

范题精讲(任意角的三角函数)［例1］已知a是第二象限角，试求:a-角所在的象限；a—角所在的象限；3)-a角所在范围.【解】(1)Ta是第二象限角，・：+2kn<a<n+2kn,kwZ,兀a兀即-；■+kn<—+kn,kwZ.422故当k=2m(m£Z故当k=2m(m£Z)时,+2mn<—<—+2mn,4225a5a—n+2mn<<n+2mn，因此,因此，2角是第一象限角；当k=2m+1(m£Z)时,a—角是第三象限角.a综上可知，—角是第一或第三象限角.兀2a兀27(2)同理可求得：三+丁'兀<<+7?'兀,k丘Z,当k=3m(m丘Z)时，TOC\o"1-5"\h\z6————兀小a兀a兀2+2%兀<<+2mn,此时，〒角是第一象限角；当k=3m+1(mWZ)时，：+2mn+—

6———6—a兀25aan<<+2mn+n,即n+2mn<<n+2mn,此时，角是第二象限角；———6———a5a当k=3m+2(mZ)时，—n+2mn<■—<—n+2mn,此时，■—角是第四象限角.a综上可知，-角是第一、第二或第四象限角.(3)同理可求得2a角所在范围为：n+4kn<2a<2n+4kn,kwZ.【评注】(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<a<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.2要会正确运用不等式进行角的表达，同时会对k取不同值，讨论形如e=a+—kn(k£Z)所表示的角所在象限.对于本例(3)，不能说2a只是第三、四象限的角，因为2a也可为终边在y轴负3半轴上的角2n+4kn(k^Z)，而此角不属于任何象限.兀兀［例2］设集合A={xlkn+4Wx<kn+2,kWZ},集合B={xl6+x-x2±0},求AHB.【解】由6+x-x220得x2-x-6W0,解得-2WxW3.兀兀对kTT+4<x<kn+2TOC\o"1-5"\h\z..3兀取k=0，有-WxV-，取k=-1,有一4nWxV—-,兀兀兀由右图可得，AHB={xl—2WxV—-或-WxV-}.tan2a—cot2a1［例3］化简+—.sin2a—cos2acos2asin2a解法一】（定义法）y设点P（x,y）是角a终边上一点，且IOPI=r,则将sina=,rxyxcosa=—,tana=,cota=—代入得:rxy(y)2-(")2原式=—L(y)2-(")2rr(y4—x4)r2r2(y2—x2)2r2TOC\o"1-5"\h\z+==x2y2x2y2(y2—x2)x2y2x2x2y2【解法二】(化弦法)sinacosa()2—()2原式=cosasina+sin2a—cos2aasin2a—cos2asin2cos2asin2a+cos2asin2a—cos2a+=sin2acos2asin2acos2acos2a解法三】（换元法）1—a设cos2a=a，贝9sin2a=l—a,tan2a=,a代入得1一aa原式=壬目+1-占(1-a)2-a2*1—2aa(1—a)(1—2a)a(1—a)

11-2a22=+==—a(1-a)a(1-a)acos2a【评注】“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.［例4］已知sin©、cos。是关于x的方程x2—ax+a=0的两个根(a^R),(1)求sin3©+cos3©的值；(2)求tan©+cot©的值.【分析】涉及实系数一元二次方程实根问题，欲求二根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上，此题的解题关键在于借助韦达定理和同角三角函数基本关系式先求出实数a来.【解】依题意，方程判别式卜三0,即(一a)2—4a三0,解得a三4或aW0,且「sin0+cos0二a,彳由(sin©+cos©)2=l+2sin©cos©得a2=1+2a解得a=l+“2(舍去)或a=1［sm0cos0二a;—迈.sin©+cos©=sin©cos©=1(l)sin3©+cos3©=(sin©+cos©)(sin2©—sin©cos©+cos2©)=(1一■2)[1一(1一、2)]=、：2一2；1sin0cos01-迈TOC\o"1-5"\h\zsin1sin0cos01-迈⑵tan©+cot©=+cos0sin0【评注】对a=1+*2的舍去，既可依据判别式大于等于零的条件考虑，也可根据a=sin1©1©cOs©=