河北省保定市辛保庄乡中学2022年高二数学理测试题含解析

河北省保定市辛保庄乡中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，则(

)A. B. C. D.参考答案：A2.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点的直角坐标是，则点的极坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.下列说法正确的有(

)个①、在对分类变量X和Y进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则“X与Y相关”可信程度越小；②、进行回归分析过程中，可以通过对残差的分析，发现原始数据中的可疑数据，以便及时纠正；③、线性回归方程由n组观察值计算而得，且其图像一定经过数据中心点；④、若相关指数越大，则残差平方和越小。A、1

B、2

C、3

D、4命题意图：基础题。考核回归分析及独立性检验的理论基础。参考答案：C4.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为(

)A.200+9π

B.200+18πC.140+9π

D.140+18π

参考答案：A5.复数（

）A．

B．C．D．参考答案：D略6.已知命题，它的否定是（

）A．存在

B．任意C．存在

D．任意参考答案：A7.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（

）参考答案：A8.已知等差数列的前n项和为，满足A.

B.

C.

D.参考答案：D9.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为(

)A．79

B．69C．5

D．-5参考答案：D10.设F1,F2是椭圆(a>b>0)的左右焦点，若此椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|,且原点O到直线PF1的距离不超过b，则离心率e的取值范围是(

)A．

.B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于

．参考答案：8【考点】等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意易得a7，进而可得b7，由等比数列的性质可得．【解答】解：设各项不为0的等差数列{an}公差为d，∵a4﹣2a72+3a8=0，∴（a7﹣3d）﹣2a72+3（a7+d）=0，解得a7=2，∴b7=a7=2，∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列和等差数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属基础题．12.若二次函数满足则的取值范围为___________参考答案：13.若，则定义为曲线的线．已知，，，，则的线为

．参考答案：14.F1F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则=_________.参考答案：略15.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为

参考答案：16.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为

.参考答案：17.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则θ的取值范围为

．参考答案：设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵该椭圆的离心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范围为．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值．参考答案：【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函数的定义域和值域；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=，结合，可求sin（2x+）的范围，进而可求函数的最大值及取得最大值的x（Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，结合b=1，c=4，利用余弦定理可求a【解答】解：（Ⅰ）==．

…（4分）∵，∴，∴，即．∴f（x）max=1，此时，∴．

…（8分）（Ⅱ）∵，在△ABC中，∵0＜A＜π，，∴，．

…（10分）又b=1，c=4，由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故．

…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，及余弦定理解三角形的应用．19.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．20.（1）求函数在处的切线的方程；

（2）求函数的单调减区间.参考答案：（1）故切点是斜率切线方程：（2）.令，则所以减区间是：（或）.略21.已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．参考答案：考点： 数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题： 计算题；证明题．分析： （I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，?，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答： 解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．

（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．

（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．

（12分）点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．22.已知：a、b、c∈R+，a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．参考答案：【考点】基本不