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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.2.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.73.函数的图象大致为()A. B.C. D.4.已知函数,,的零点分别为,,,则()A. B.C. D.5.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.6.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()A.图象关于点对称,在区间上为增函数B.函数最大值为2,图象关于点对称C.图象关于直线对称,在上的最小值为1D.最小正周期为,在有两个根8.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上,则的取值范围是()A. B. C. D.9.已知,,则等于().A. B. C. D.10.设命题p:>1,n2>2n,则p为()A. B.C. D.11.等比数列中,,则与的等比中项是()A.±4 B.4 C. D.12.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().A.1 B.1 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.14.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)15.抛物线的焦点到准线的距离为.16.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线:(为参数),曲线(为参数).(1)设与相交于,两点,求;(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值.18.(12分)等差数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式;(2)记(1)中您选择的的前项和为,判断是否存在正整数,使得,,成等比数列,若有,请求出的值;若没有,请说明理由.19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520.(12分)选修4-5:不等式选讲设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)若射线与和分别交于点,求.22.(10分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.2、A【解析】

先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3、A【解析】

用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.4、C【解析】

转化函数,,的零点为与,,的交点,数形结合,即得解.【详解】函数,,的零点,即为与,,的交点,作出与,,的图象,如图所示,可知故选:C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点,考查了学生转化划归,数形结合的能力,属于中档题.5、D【解析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.6、B【解析】

复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7、C【解析】

由辅助角公式化简三角函数式,结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数,则,将向左平移个单位,可得,由正弦函数的性质可知,的对称中心满足,解得,所以A、B选项中的对称中心错误;对于C,的对称轴满足,解得,所以图象关于直线对称;当时,,由正弦函数性质可知,所以在上的最小值为1,所以C正确;对于D,最小正周期为,当,,由正弦函数的图象与性质可知,时仅有一个解为,所以D错误;综上可知,正确的为C,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简,三角函数图象平移变换,正弦函数图象与性质的综合应用,属于中档题.8、D【解析】

根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点;利用导数研究的单调性从而得到的图象;由直线恒过定点,通过数形结合的方式可确定;利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和,进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为:原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知,直线恒过点当时,在上单调递减;在上单调递增由此可得图象如下图所示:其中、为过点的曲线的两条切线,切点分别为由图象可知,当时,与有且仅有四个不同的交点设,,则,解得:设,,则,解得:,则本题正确选项:【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题;涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题;解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题,通过确定直线恒过的定点,采用数形结合的方式来进行求解.9、B【解析】

由已知条件利用诱导公式得,再利用三角函数的平方关系和象限角的符号,即可得到答案.【详解】由题意得,又,所以,结合解得,所以,故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系,属于基础题.10、C【解析】根据命题的否定,可以写出:,所以选C.11、A【解析】

利用等比数列的性质可得,即可得出.【详解】设与的等比中项是.

由等比数列的性质可得,.

∴与的等比中项

故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.12、C【解析】

由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形:若为的外心,则,平面,可得,即,①正确;若为等边三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②错误;若,设与平面所成角为可得,设到平面的距离为由可得即有,当且仅当取等号.可得的最大值为,即的范围为,③正确;取中点,的中点,连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上,而,可得④正确;所以正确的是:①③④故选:C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,处理这类问题,可以用已知的定理或性质来证明,也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

利用公式计算出,其中为的周长,为内切圆半径,再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知,,,,设内切圆的圆心为,半径为,则,故有,解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题,涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力,是一道中档题.14、【解析】

首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,故选派的方法为:.故答案为.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).15、【解析】试题分析:由题意得,因为抛物线,即,即焦点到准线的距离为.考点:抛物线的性质.16、20,21【解析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)将直线和曲线化为普通方程,联立直线和曲线,可得交点坐标,可得的值;(2)可得曲线的参数方程,利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.【详解】解:(1)直线的普通方程为,的普通方程.联立方程组,解得与的交点为,,则.(2)曲线的参数方程为(为参数),故点的坐标为,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等,属于中档题.18、(1)见解析,或;(2)存在,.【解析】

(1)满足题意有两种组合:①,,,②,,,分别计算即可;(2)由(1)分别讨论两种情况,假设存在正整数,使得,,成等比数列,即,解方程是否存在正整数解即可.【详解】(1)由题意可知:有两种组合满足条件:①,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.②,,,此时等差数列,,,所以其通项公式为.(2)若选择①,.则.若,,成等比数列,则,即,整理,得,即,此方程无正整数解,故不存在正整数,使,,成等比数列.若选则②,,则,若,,成等比数列,则,即,整理得,因为为正整数,所以.故存在正整数,使,,成等比数列.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和,涉及到等比数列的性质,是一道中档题.19、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列见解析.【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数,由表格得达标人数,从而得男生中达标人数,这样不达标人数随之而得,然后计算可得结论;(2)由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数,总共选2人,女生有4人,的可能值为0,1,2,分别计算概率得分布列,再由期望公式可计算出期望.【详解】(1)列出列联表,,所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.(2)(i)在“锻炼达标”的学生中,男女生人数比为,用分层抽样方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,人中女生的人数为,则的可能值为,,,则,,,可得的分布列为:

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