河北省保定市兴县晋绥中学2021年高二数学理联考试题含解析

河北省保定市兴县晋绥中学2021年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．100cm3 B．108cm3 C．84cm3 D．92cm3参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣××3×4×4=108﹣8=100．故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3.已知复数，若是纯虚数，则实数等于A．

B．

C．

D．高参考答案：B略4.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.参考答案：B【分析】先化简，再求共轭复数.【详解】，所以复数的共轭复数是，故选B.【点睛】本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题.5.设p：在内单调递增，，则是的（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B6.下面几种推理是合情推理的是（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；（2）由平行四边形、梯形内角和是，归纳出所有四边形的内角和都是；（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；（4）三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，由此得凸多边形内角和是A．（1）（2）

B．（1）（3）

C．（1）（2）（4）

D．（2）（4）参考答案：C略7.

下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.下列各不等式：①a+1＞2a；②③④⑤其中正确的个数是

（

）A.

0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：D9.已知函数f（x）=的最小值为f（0），则a的取值范围是(

) A．[﹣1，] B．[﹣1，0] C．[0，] D．[0，2]参考答案：C考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值5+a，解不等式4a2≤5+a，即可得到a的取值范围．解答： 解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，由x+≥2=4，当且仅当x=2取最小值4，则4a2≤5+a，解得﹣1≤a≤．综上，a的取值范围为[0，]．故选：C．点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．10.设是虚数单位，若复数满足，则(

).（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.91和49的最大公约数为

.参考答案：712.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．参考答案：7考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13.已知函数在(－∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是________.参考答案：函数在上单调递增，又函数的对称轴；解得；

14.在等差数列中，若，则有成立.类比上述性质，在等比数列中，若，则有

.参考答案：略15.写出命题：“至少有一个实数,使=0”的否定

．参考答案：，使

略16.一般地，给定平面上有个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为，已知的最小值是，的最小值是，的最小值是.试猜想的最小值是

．

参考答案：略17._______.

参考答案：:试题分析：考点：三角函数的周期性及特殊角的三角函数值三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在，上的最大值；（Ⅱ）讨论函数的零点的个数．参考答案：（Ⅰ）f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝（x﹣1）（ex+2），利用导数研究函数的单调性即可得出最值．（Ⅱ）令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex，讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，即转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数．画出函数g（x）＝（2﹣x）ex的图象大致如图．对a分类讨论即可得出a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点，当a<0时，对a分类讨论研究f(x)的图象的变化趋势得出结论.【详解】（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）ex，可得f′（x）＝2（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2），由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，所以f（x）在[﹣2，1]单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝﹣e，又f（﹣2）＝9﹣4e-2＞f（2）＝1所以f（x）max＝9﹣4e-2.（Ⅱ）讨论f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex的零点个数，令a（x﹣1）2+（x﹣2）ex＝0，则a（x﹣1）2＝（2﹣x）ex,转化为讨论函数y＝a（x﹣1）2与g（x）＝（2﹣x）ex的图象交点个数，由g（x）＝（2﹣x）ex，可得g′（x）＝（1﹣x）ex．由单调性可得：g（x）图象大致如右图：所以当a=0时，y＝a（x﹣1）2=0与g（x）＝（2﹣x）ex图象只有一个交点，a＞0时，y＝a（x﹣1）2与函数g（x）＝（2﹣x）ex有两个交点，当a<0时，f′（x）＝2a（x﹣1）+（x﹣1）ex＝（x﹣1）（ex+2a），当a=-时，f′（x）恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）递增，又f（1）=-e<0,f（3）=-e3=-e3>0，此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当a-时，f′（x）＝0的两根为1，ln(-2a),当1<ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，1）递增；在（1，ln(-2a)）上递减，在（ln(-2a)，+∞）递增，又f（1）=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<a（x﹣1）2+（x﹣2）ex=f（x）,所以f（）>0,此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.当1>ln(-2a)时，f（x）在（﹣∞，ln(-2a)）递增；在（ln(-2a),1）上递减，在（1，+∞）递增，又f(ln(-2a))=a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,又f（1）=-e<0,同样有f（）>0,所以此时f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.综上当a＞0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有两个零点a≤0时，f（x）＝a（x﹣1）2+（x﹣2）ex有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.（本小题满分12分）已知函数，（1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．参考答案：(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.

.......6分(2)由已知可知k(x)＝x－2lnx－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln3，φ(2)＝2－2ln2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln2<a≤3－2ln3.所以实数a的取值范围为(2－2ln2,3－2ln3]．

.......12分

20.

如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.参考答案：21.设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？参考答案：

22.（13分）设△A