江西省赣州市社溪中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析

江西省赣州市社溪中学2022-2023学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为(

)A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用圆心（0，2）到双曲线﹣=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切，设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，则d===1，∴双曲线离心率e==2．故选C．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题．2.(5分）设向量，满足，，则“”是“∥”成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．不充分也不必要条件参考答案：C∵向量，满足，，“，∴=2，∴∥，∵∥，∴=λ，可以取，，也有∥，，∴“”是“∥”成立的充分不必要条件．故选C．3.已知变量满足，则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24,则正视图中a的值为A.

2

B.4C.

6 D.8参考答案：C由三视图知：该几何体为四棱锥，其中四棱锥的底面为边长为a和3的长方形，四棱锥的高为4，所以该四棱锥的体积为。5.在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为

(

)

A．3

B．2

C．4

D．1参考答案：B6.若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．7.设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入z?=2（+i）后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．则，解得．所以z=1+i．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．8.设0<<b，且f(x)＝，则下列大小关系式成立的是

(

)(A)f()<f()<f()

(B)f()<f(b)<f()(C)f()<f()<f()

(D)f(b)<f()<f()参考答案：D略9.设集合M＝{﹣1,2,3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为(

)A.1或﹣1 B.﹣1 C.1 D.2参考答案：B【分析】由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值．【详解】∵A∩B＝{3}，∴3∈A且3∈B，∴a+2＝3或a2+2＝3，解得：a＝1或a＝﹣1，当a＝1时，a+2＝3，a2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去；则a＝﹣1．故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10.设函数，，若实数a，b满足，，则（

）A． B．C． D．参考答案：D∵由题可知∴在为增函数∵，∴∵∴∴，∴故选D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是

．（用数字作答）参考答案：48根据题意，每对双胞胎都相邻，故不同的站法为

12.已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．参考答案：【分析】先求出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，利用公式可计算概率.【详解】设为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有种取法，取出的两个小球编号相同，共有种取法，故.【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件，也可用排列组合的方法来计数.13.已知，则的值等于

参考答案：15略14.已知点M（x，y）满足，当a＞0，b＞0时，若ax+by的最大值为12，则+的最小值是．参考答案：4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】由线性约束条件求出最优解，代入线性目标函数得到a+b=1，然后利用+=（+）（+）展开整理，最后利用基本不等式求最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（3，4），显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b时“=”成立，故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．15.已知函数，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略16.计算:=

.

参考答案：17.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为

．参考答案：1或4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若二次函数满足，且.（1)求的解析式；（2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)由得，.

∴.又，∴，即，∴，∴.∴.(2)等价于，即在上恒成立，令，则，∴.略19.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤3的解集；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：略20.（本小题满分12分）已知函数f（x）=2lnx+．（I）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）9；（Ⅱ）[2，+∞）

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用（Ⅰ）∵f′（x）=﹣，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2﹣，∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直，∴2﹣=﹣，∴m=9；

（Ⅱ）依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），则g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，∴x≥1时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2即实数m的取值范围是[2，+∞）．【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（Ⅱ）不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．

21.在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．参考答案：（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.则圆C的半径为所以圆C的方程为（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：消去y，得到方程由已知可得，判别式因此，从而

①由于OA⊥OB，可得又所以

②由①，②得，满足故

22.(本小题满分8分)如图，在底面是正方形的四棱锥中，，，点在上，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面.参考答案：解：（Ⅰ）正方形边长为1，，，所以，即，，因为，所以平面.

………………2分（Ⅱ）如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，.由（Ⅰ）知为平面的法向量，，设平面的法向量为，由