2023年广东省江门高三压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/(x)=sin(a)x+0)的部分图象如图所示，则/(x)的单调递增区间为()

A.------卜kji,-------F,keZB.------卜2k兀,---F2左乃,ksZ

4444

C.卜k,-----卜k,keZD.F2攵,---卜2keZ

4444

2.已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为4,坊,鸟…,4,〃£N*.记〃为集合。中的最大元素,

则〃]+4+优+…+么=()

A.45B.105C.150D.210

3.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学

科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为1()加，阴阳太极图的半径为4加，则每块八卦田的面积

A.47.79〃/B.54.07m2

C.57.21小D.114.43m2

4.计算log.)

2

D.

3

5.函数/（力=/卜2T（f-4）的图象可能是（）

6.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）,则该几何体的表面积为（

A.15兀cm2B.21;rcm2

C.2471cm2D.33〃cm2

7.设集合A={x|x>0},B={x|log2(3x-1)<2},则().

A.AnB=[o,|)B.An8=(0,g

C.=|-,+ooD.AU8=(0,+oo)

(3

i

—X3+X~2,X<1

8.已知函数/(x)=(aInx、，,若曲线y=/(x)上始终存在两点A,B,使得OA_LO6,且AB的中点在y

-------,x>1

x(x+l)

轴上，则正实数a的取值范围为()

1

A.(0,+oo)0,-—,+ooD.[e,+oo)

e

x2

9.斜率为1的直线1与椭圆二+y2=l相交于A、B两点,则|AB|的最大值为()

4'

A,o475「4V10n8V10

A.2B.--------C.--------D.--------

555

10.设集合A={x|-2<x<a},B={0,2,4},若集合A「8中有且仅有2个元素，则实数”的取值范围为

A.(0,2)B.(2,4]

C.[4,-HX))D.(-oo,0)

11.为计算S=l—2x2+3x22—4x23+...+100x(—2)",设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入()

12.已知单位向量“，B的夹角为若向量/”=2a，n=4a—Ab＞且〃z_L〃，则卜卜()

A.2B.2C.4D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在二项式(/+2)''的展开式中，f的系数为.

14.正方体的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的

弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，丽•丽的取值范围是.

91

15.若x>l,则2x+9+—；的最小值是.

X+lX-1

16.如果函数/（x）=（加一2）*+2（〃—8）%+1（，"，〃€火且〃后2,〃20）在区间1,2上单调递减,那么加〃的最

大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图,直角三角形M£）所在的平面与半圆弧8£）所在平面相交于瓦）,43=3£）=2,分别为AD,BO

的中点，C是80上异于8,0的点，EC=桓.

（1）证明:平面CE尸_L平面BCD;

（2）若点C为半圆弧80上的一个三等分点（靠近点。）求二面角A-CE-B的余弦值.

18.（12分）已知｛4｝是公比为4的无穷等比数列，其前〃项和为S”，满足%=12,.是否存在正整数3

使得鼠>2020?若存在，求人的最小值；若不存在，说明理由.

从①4=2,②q=；,③g=-2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

19.（12分）已知函数/（x）=xlnx-+3x-a,aeZ.

（1）当。=1时，判断x=l是否是函数〃x）的极值点，并说明理由；

（2）当x〉0时，不等式/（x）W0恒成立，求整数"的最小值.

22C

20.（12分）已知椭圆二+与=1（a＞匕＞0）经过点（0,1）,离心率为出,A、B、。为椭圆上不同的三点，且

a2b22

满足西+0»+0心=0，。为坐标原点.

（1）若直线AB、0c的斜率都存在，求证：原8山农为定值；

（2）求|A8|的取值范围.

21.（12分）在AAHC中，内角A,8,C的对边分别是a,4c,满足条件c=2b-&a,C=立.

4

（1）求角A;

（2）若AABC边AB上的高为石，求AB的长.

22.（10分）已知/（x）=d+3办2+公+/（。＞1）的图象在x=_i处的切线方程为y=0.

（1）求常数的值；

（2）若方程/（x）=c在区间上有两个不同的实根，求实数c的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

3

由图象可以求出周期，得到。，根据图象过点I],-1）可求。，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

【详解】

T51

由图象知一一一=1,

244

27r

所以7=2,co=—=7v,

2

3

又图象过点（1一1）,

所以—1=sin（二37r+e）,

故。可取一，

4

37r

所以fM=sin(^-x+—)

4

令2k7t—H7T&兀3TT2k兀+士71,kwZ,

242

mik--<x<2k--,k&Z

44

所以函数的单调递增区间为一3+2左,一!+2攵,k&Z

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.

2.B

【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.

【详解】

集合”含有3个元素的子集共有或=20,所以％=20.

在集合g(i=l,2,3,…,女)中：

最大元素为3的集合有C；=l个；

最大元素为4的集合有=3；

最大元素为5的集合有盘=6；

最大元素为6的集合有C；=10；

所以优+/z,+4+仇+与=3xI+4x3+5x6+6+l0=105.

故选：B.

【点睛】

此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.

3.B

【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的:，两面积作差即可求解.

O

【详解】

由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为吧=45,

8

设三角形的腰为。，

a_10ru

由正弦定理可得.135。=sin45,解得a=10&sin空

sin2

2

所以三角形的面积为:

/、2

S」x（10夜sin至]sin45=50"1一””[35=25（&+1）,

222

所以每块八卦田的面积约为：25(J5+l)—(x;rx42a54.07.

故选：B

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.

4.A

【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.

【详解】

V2I_3

叵3

原式=10g2——XCOS=log=log-------X—2

22=log22=

2222

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.

5.A

【解析】

先判断函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,1)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

函数y=/(x)的定义域为R，/(-X)=(-x)2-[(-x)2-1]-[(-X)2-4]=x2(x2-l)(x2-4)=/(x),该函数为偶

函数，排除B、D选项；

当0<x<l时，/(力=犬(》2—。卜2-4)>。，排除c选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合

排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

6.C

【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。加，底面直径是6cm,据此可计算出答案.

【详解】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。加，底面直径是6c加，

该几何体的表面积S=^rx32+zrx3x5=24%.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.

7.D

【解析】

根据题意，求出集合A,进而求出集合AU8和分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，8={xIlog2(3x-1)<2}=卜|；<x<(}

则AD8=(0,+8),AcB=(g,|)

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目，

8.D

【解析】

根据中点在y轴上，设出AI两点的坐标A(T/+『)，B(Z,/(/)),(f>0).对f分成=三类，利用

Q4_LQB则砺•丽=0,列方程，化简后求得。=」二，利用导数求得的值域，由此求得。的取值范围.

In/Inf

【详解】

根据条件可知A,3两点的横坐标互为相反数,不妨设A(T—+『)，8Q"Q)),C>0),若r<l,则/«)=—/+产,

由。4_LQB,所以丽.丽=0,即一/+(尸+产)(_/+产)=0,方程无解；若f=i,显然不满足Q4,O3；若。＞1,

“、a\nt___2/3八6flnr八t(t、InZ-lt

则/⑺=“一1、，由O4-QB=(h即—厂+('+厂);77^=°，即a=「，因为丁二=八$，所以函数■;—

f«+l)'+Inf(InfJ(Inr)In/

在(0,e)上递减，在(e,+8)上递增，故在/=0处取得极小值也即是最小值萨=e,所以函数y=*在(1+8)上的

值域为[e,+°°),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

9.C

【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于()求得，的范围，进而利用弦长公式求得以8|的表达式，利

用t的范围求得HBI的最大值.

【详解】

解：设直线，的方程为y=x+f,代入二+炉=1,消去y得一*2+2戊+产-1=0,

44

由题意得小=⑵)2-1(?-1)＞0,即FVL

弦长|A8|=4V2x‘5一)＜生叵.

55

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问

题的突破口.

10.B

【解析】

由题意知{0,2}qA且4任A,结合数轴即可求得a的取值范围.

【详解】

由题意知，ADB={0,2},则{0,2}=A,故a＞2,

又4史A,则。＜4,所以2＜。＜4,

所以本题答案为B.

【点睛】

本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定AD8中的元素是解题的关键，属于基础

题.

11.A

【解析】

根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.

【详解】

由程序框图的运行，可得：S=0,i=0

满足判断框内的条件，执行循环体，a=LS=Li=l

满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x(-2),S=l+2x(-2),i=2

满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x(-2)2,S=l+2x(-2)+3x(-2)2,i=3

观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x(-2)9%S=l+2x(-2)+3x(-2)2+...+lx(-2)",

i=b此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是iVL

故选：A.

【点睛】

本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题.

12.C

【解析】

根据而_L5列方程，由此求得x的值，进而求得

【详解】

由于〃所以机•〃=()'即

2〃.(4。-萩)=Sa-2Aa-b=S-2A-cos—=S+y/2A=0,

4

,8

解得石一正=-4夜.

所以〃=4。+4及行

所以

问=#£+40可=\/16a+32y/2a-b+32h=^48+320cos弓=J48-32=4.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.60

【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

62

二项式1+2)的展开式通项为：Tr+l=C；(x广[2'=C；产a.2,，

取r=2,则V的系数为C>22=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14.[0,2]

【解析】

由弦MN的长度最大可知MN为球的直径.由向量的线性运用所表示出两.两,即可由|用|范围求得丽.两

的取值范围.

【详解】

连接PO,如下图所示：

设球心为。，则当弦的长度最大时，MN为球的直径,

由向量线性运算可知

=PO2+POON+OMPd+OMON

=PO2+P0（ON+OM）+OM-ON

正方体ABC。-A的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=0,OMON=-\,

所以所2+所.（而+丽）+丽.两

=所2-1，

而同同1,6]

所以用2-le[0,2],

即丽.而40,2]

故答案为：[0,2].

【点睛】

本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.

15.8

【解析】

9191

根据2x+=—+——=x+1+―一+X—1+——（x>l）,利用基本不等式可求得函数最值.

x+1x-1x+1x-1

【详解】

919191

Qx>1,2xH-----1-----=x+1H-----Fx—1H-----26+2=8,当且仅当x+1=----且x—1=----,即x=2

x+1x-1x+1x-1x+1x-1

91

时，等号成立..•.x=2时，2x+——+——取得最小值8.

X+lX-1

故答案为：8

【点睛】

本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.

16.18

【解析】

根据函数单调性的性质，分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式，利用基本不等式求解即可.

【详解】

解:①当加=2时，y（x）=2（〃—8）x+l,

/(x)在区间I，2上单调递减,

则〃一8<0,即0<n<8,

则04机〃<16.

②当加>2时，/(x)=(m-2)x24-2(n-8)x+l,

2(〃-8)n-8

函数开口向上，对称轴为x=-太=----

2(加-2)m-2

因为/(X)在区间(,2上单调递减，

贝卜忙!22,

m-2

因为m>2,则一(〃一8"2(加一2),

整理得2m+〃W12,

又因为相>2,〃20

则2勿+n>2廊>所以即詈■之降而

(2W+Z?Y(12?

即I)1万)，

mn<~匕〈广红-=18

22

所以〃加W18

当且仅当〃?=3,〃=6时等号成立.

综上所述，加〃的最大值为18.

故答案为：18

【点睛】

本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意‘'一定，二正，三相等

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)详见解析；(2)叵.

35

【解析】

(1)由直径所对的圆周角为90°，可知8CL8。，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出x为直角三角形，

所以有由已知可以证明出郎_LM，这样利用线面垂直的判定定理可以证明所，平面8C。，利用面面

垂直的判定定理可以证明出平面CEF，平面BCD;

(2)以尸为坐标原点，分别以垂直于平面BC。向上的方向、向量而，而所在方向作为x轴、.V轴、二轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系尸一孙z,求出相应点的坐标，求出平面ACE的一个法向量和平面BCE的法向量，

利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角A-CE-B的余弦值.

【详解】

解：(1)证明：因为C半圆弧8。上的一点，所以8C_L8D.

在△/$£＞中，E,尸分别为AD,B。的中点，所以所=，4B=1,豆EFUAB.

2

于是在AEFC中，EF2+FC2=\+l=2=EC2＞

所以AEFC为直角三角形，且"，FC.

因为£///钙,所以£?_1班).

因为£尸_1日。，EF1.BD'BDcFC=F,

所以所，平面BCD.

又上户u平面CEE,所以平面CEE,平面BCO.

(2)由已知NBEC=120°，以尸为坐标原点，分别以垂直于B。、向量打6而所在方向作为x轴、＞轴、二轴的

正方向，建立如图所示的空间直角坐标系b-冲z,

则C(¥，g,O),£(0,0,1),5(0-1,0),A(0,-l,2),

—x/31—、—•

CE=(--,--,l),B£=(0.1.1),AE=(0,1,-1).

22

设平面ACE的一个法向量为m=&,如4),

y—Z]=0

AE-m=0取Z1=1,得机=(—^-,1,1).

则

CE-m=Q3

设平面8CE的法向量”=(々,％*2),

y+z2=°

BEn=02

则一即《&1_n取Z2=1,得〃=(G,_1,D.

CEn=0一_^X2~2y2+Z2=0

【点睛】

本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.

18.见解析

【解析】

选择①或②或③，求出％的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于人的不等式，判断不等式是否存在符合条件

的正整数解左，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.

【详解】

3(1-2")/

选择①：因为%=12,所以4=3=3,所以W=3(2"—l、>

910

令Sk>2020,即2k>学，2<上?<2,所以使得Sk>2020的正整数k的最小值为10；

a48x（1—』）、

选择②：因为%=12,所以％=q=48,；.s“=一J]2"」=96i—3

1-2

因为S„<96<2020,所以不存在满足条件的正整数k；

a.3x

选择③：因为4=12,所以4=胃=3,所以§=一

q-"

令Sk>2020,BP1-(-2)'>2020,整理得(一2『<-2019.

当人为偶数时，原不等式无解;

当攵为奇数时，原不等式等价于2%>2019,

所以使得黑〉2020的正整数k的最小值为11.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.(1)x=l是函数/3)的极大值点，理由详见解析；(2)1.

【解析】

(D将。=1直接代入，对/(x)求导得尸(x)=lnx-4x+4,由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导,

判断导函数/'(X)在x=l左右两边的正负情况，最后得出，x=l是函数/(x)的极大值点；

(2)利用题目已有条件得再证明。=1时，不等式/(x)WO恒成立，即证lnx-2x+3-』WO,从而可知整

x

数。的最小值为1.

【详解】

解：(1)当。=1时，/'(x)=lnx-4x+4.

令尸(x)=/1x)=lnx—4x+4,则/<x)=!一4=^^

XX

当x>L时，F(x)<o.

4

即尸(力在、,+，!内为减函数，且/⑴=0

.•.当时，/(%)>0；当xe(l,+oo)时，/,(x)<0.

二在内是增函数，在(1,小功内是减函数.

综上，x=l是函数/(x)的极大值点.

(2)由题意，得了(1)40,即ail.

现证明当。=1时，不等式/(x)WO成立，即xlnx-2f+3x—1W0.

即证lnx-2x+3-k。

X

令g(x)=lnx-2x+3-■-

x

/x11—2x2+x+1—(2x+l)(x—1)

贝nl！lg〈x=——2+二=——%一=」——卢一)-

XXXX

.,.当XG（O,1）时,8’（力>0;当彳€（1,+00）时,g'（x）<0.

.•.g（x）在（0,1）内单调递增，在（1,y）内单调递减,

g（x）的最大值为g⑴=0.

・•♦当x>0时，In%—2x+3—40.

x

即当x>0时，不等式/（x）W0成立.

综上，整数。的最小值为1.

【点睛】

本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要

求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题

20.（1）证明见解析；（2）[6,26].

【解析】

（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设A、B、C点坐标，根据砺+砺+诙=6利用坐标表示出心8即可

得证;

（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出HM，即可求出范围.

【详解】

b=\

c。2=4V2

（1）依题有，=>V,2，所以椭圆方程为工+y2=i.

a2b2=14

a2^b2+c2

设A（x，y）,B（X2，y2）,C（&,y3），

由。为A4BC的重心=>玉+々=一七，%+>2=一％；

又因为x；+4y；=4,¥+4£=4=（不+%）（七一当）+4（乂+%）（乂一%）=°，

=X+%

N^AB^OC

**玉一马4（x+%）

x3X,+x24

（2）当AB的斜率不存在时：X1=%,y+必=°=>%3=-2%，%=0,

代入椭圆得，玉=±1,x=±4=|AB|=百,

当AB的斜率存在时：设直线为.丫=依+乙这里

由，=尸(*尸+8依+4J=。,A>0^4F-l>^

8kt4户一42t

根据韦达定理有X1+X］

Skt—2t’代入椭圆方程有公"一卜八；，

故C4氏2+1'4k2+1

16(4公一尸+1)

=/+・€(百,2百〕

又因为

|AB|=Jl+&2|%1-%21=Jh+i

V(指+1)2

综上，|AB|的范围是［瓦2百