2023届上海市高三年级上册学期统一模拟数学试题【含答案】

2023届上海市高三上学期统一模拟数学试题一、填空题1．已知，则____________．【答案】【分析】根据复数的运算性质即可得.【详解】解：.故答案为：.2．己知集合，，则________；【答案】##（-1，3]【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合B，根据并集运算的法则，即可得答案.【详解】由题意得，所以．故答案为：（-1,3]3．在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则________；【答案】【分析】由已知可得，，然后根据诱导公式即可求解.【详解】依题意.因为，所以．故答案为：.4．已知，若，则___．【答案】【分析】先通过求出，再令，，将所得式子相减即可.【详解】由已知得，解得，令得，令得，两式相减得，得.故答案为：.5．数列满足，且与的等差中项是5，则________；【答案】【分析】根据定义得到为等比数列，公比为2，由与的等差中项是5列出方程，求出首项，从而利用等比数列的求和公式计算出答案.【详解】，则为等比数列，公比为2，又，解得：，所以．故答案为：6．己知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为（单位：元/件），则的最小值是________；【答案】60【分析】根据题意可得，根据基本不等式，即可得答案.【详解】由题意得，当且仅当，即当时等号成立．所以的最小值是60．故答案为：607．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可．【详解】画出图形如图，，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，由图可知，在处时，取得最大值，，此时，可得，即最大值为6，在处取得最小值，此时，最小值为，因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题．8．已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．【答案】【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．【详解】椭圆方程为，双曲线方程为，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点，，椭圆离心率，同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得双曲线的离心率为．故答案为．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力属于中档题．9．己知函数满足，若函数与图像的交点为，则________；【答案】2023【分析】根据条件得到与均关于对称，故两函数的交点也关于对称，对于每一组对称和，都有，，从而求出答案.【详解】因为，所以函数关于对称，又的图像关于对称，所以两函数的交点也关于对称，对于每一组对称和，都有，．从而．故答案为：2023．10．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是________；（填写你认为正确的序号）①；②③；④；【答案】③【分析】根据函数的奇偶性即可排除②④，然后根据趋近的函数值可排除①，从而得到结果.【详解】由图像对称性可知，应为偶函数，对于②，∵，∴为奇函数，②错误；对于④，∵，∴为奇函数，④错误；对于③，，∴为偶函数，满足；由图像可知，当x从正方向无限接近0时，；对于①，当x从正方向无限接近0时，，，，①错误．对于③，当x从正方向无限接近0时，，，，满足；故排除可得③正确故答案为:③.11．如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为___________.【答案】【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，则，，在中，，，所以设，，，即.由题意可知为的中点，为的中点，所以，，所以，，所以（其中，为锐角），所以的最大值为，此时，即，故答案为：【点睛】关键点点睛：题目中给出垂直关系，可利用坐标法处理此题，设，点坐标即可用关于的三角函数关系表示，则将问题整理为关于的正弦型函数求最大值问题.12．一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个1×3的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为________（答案用数值表示）．【答案】5184【分析】固定四边形一条边的颜色时，求出一个四边形的染色方式种数，进而可以计算3个这样的四边形的染色方式种数.【详解】任选一个四边形的一条边，当这条边的颜色确定时，这个四边形的染色方法有种，同时每种方法都会确认与其相邻的四边形的一条边的颜色，.故答案为：5184二、单选题13．已知，那么在下列不等式中，不成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】，则，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.14．如图，正方体中，M是的中点，则（

）A．直线与直线相交，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线AC异面，直线平面D．直线与直线垂直，直线∥平面【答案】D【分析】根据题意可知，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量来研究直线和平面、直线和直线的位置关系较为简单，用向量的共线定理证明两直线是否平行或异面，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直或平行，得出直线与平面是否平行或垂直，再对选项进行逐一分析判断即可得出结论.【详解】解：因为是正方体，不妨设棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，，，，，，，，又M为的中点，故可得，，，设平面的法向量为，则，即，不妨取，故可得．设平面的法向量为则，即，不妨取，故可得．对A：因为，，故BM，不相交，故错误；对B：，，不存在非零实数，使得，故MB，不平行，故错误；对C：，平面的法向量为，不存在非零实数，使得，故MB与平面不垂直，故错误；对D：，，则，故直线MB与垂直；又，故MB与平面平行，故正确；故选：D．15．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（

）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点【答案】C【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.【详解】由题设，，则，又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，所以的两个零点为，由图知：存在使，综上，有三个不同零点，由图：上，上，上，上，所以在上递减，上递增，上递减，上递增.故至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.16．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和，若对任意，且，总有恒成立，则实数的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】先根据与的关系式求出的通项公式，再求出，再令求出的前和，求出其最大值即为的最小值【详解】，当时，

，解得当时，整理得：，又各项均为正数是以为首项，公差的等差数列令令的最小值为故选：B三、解答题17．如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，.(1)求证：平面平面ABC；(2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量法进行求解.【详解】（1）证明：由题意知，则，所以.又，所以，所以，又，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解：以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面AEF的法向量为，则则，取，得.设直线AB与平面AEF所成的角为，则，所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.18．已知数列满足，．(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)数列满足，为数列的前n项和，若恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)证明见解析；；(2)【分析】（1）由递推公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；（2）依题意可得，令则，利用错位相减法求出，即可得到，根据二次函数的性质求出的最小值，再解一元二次不等式即可；【详解】（1）解：数列满足，，整理得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，整理得．（2）解：数列满足，令，所以数列的通项公式为，所以①，②，①－②得：，整理得．∴，所以当时，取得最小值为，即，∴，解得，所以19．某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M、N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM、AN分别交于点D、E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设．(1)当时，求池内休息区的总面积（Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)：(2)当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．【答案】(1)(2)【分析】(1)计算出的长，利用三角形的面积公式可求得池内休息区的总面积；(2)将用含的代数式表示出来，可得到池内休息区的总面积关于的函数表达式，令，利用导数求出的最大值，并求出对应的值，由此可得到的长.【详解】（1）因为为直径，所以，在中，因为，所以，，所以池内休息区总面积；（2）在中，因为，，所以，，，由，得，则池内休息区总面积，；设，，因为，又，所以，使得，则当时，在上单调增，当时，在上单调递减，即是极大值，也是最大值，所以，此时．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：(a>b>0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB=.（1）求椭圆M的标准方程；（2）求矩形ABCD面积S的最大值；（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由.【答案】（1）；（2）最大值为；（3）存在，理由见解析.【分析】（1）由题可得，解出即可求出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，表示出点B坐标，进而得出，由的方程为，得出，即可得出矩形面积，求出最大值；（3）若矩形为正方形，则，，根据零点存在可得出方程有解，即可判断.【详解】解：（1）由题意：，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，即，联立得，解得，，所以，直线的方程为，即，所以，所以矩形面积，所以当且仅当时，矩形面积的最大值为.（3）若矩形为正方形，则，即，则，令，因为，又的图象不间断，所以有零点，所以存在矩形为正方形.【点睛】本题考查椭圆中四边形的面积问题，解题的关键是设出直线方程，表示出矩形的相邻两边边长，进而可求出最值.21．已知函数的极小值为1．(1)求实数a的值；(2)设函数．①证明：当时，，恒成立；②若函数有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)1(2)①证明见解析；②或【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解（2）①法一：先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可；法二：直接利用（1）的结论放缩即可②研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解【详解】（1）的定义域为，．当时，恒成立，在上单调递增，无极小值；当时，令，；令，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的极小值为，即．综上，．（2）①法一：，．∵，∴，即在上单调递减．∴．由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）．∴，即．法二：由（