2.32平面向量基本定理的正交分解及坐标表示

平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平这样,,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基.,且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要,x轴、y量j,这时,a,有一对实数、,使得=x+j.于是,a都可由y(x,ya坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示“”的思想.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的方法.能在具体问中适当地基底,使其他向都能够用底来表达.1

思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力,1F2我们知αvcoα和沿竖直方向的速度vsn.,特别是作正交分解,即两个互垂直的方上进行解,是决问题的一十分重的.果1、e2,a那么a与1e2,.的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带?思路2,放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？e1e2,3e1+2e2e1-2e2.平面内的任一λ1e1+λ2e2的向量表示呢?1,e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作ae1、e2之间的关系.活动:1,在平面内任取一点O,作OA=e1OB=e2OC=a.C作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OBN.质可知,λ1λ2,使得OM=λ1e1ON=λ2e2.由于OC

ON,a=λ1e1+λ2e2.由上述过程可以发现,e1、e2表e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,a,有且只有一λ1、λ2,a=λ1e1+λ2e2.定理说明:(1)e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(3)ae1、e2的条件下进行分解;活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论不共线向量存在夹角,,:ab(2),作OA=aOB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)b的夹角显然,θ=0°时,ab同向;θ=180°时,ab反向.因此,ab90°,ab垂直,λ2a2,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得 这样,ax、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)a的坐标,记 其中xa在x轴上的坐标,ya在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,置有关系.如图所示A1B1a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),为简化处理问题的过程,a的有向线段的起点,这时向量a的坐标a的有向线段的终点唯一确定了,即点Aa的坐标,流程表示如讨论结果:ax、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)a的坐标,a=(x,y).例1如图 ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=3AM和HF

BC,a,b解:H、M、F所在位置,AMAD

AD1DCAD1ABb1a1AB=b+1 HFAFAHABBFAH1BC1 AB1AD1 =a16点评:a、bAMHF,abAMHF已知向量e1、e2(如图5),求作向量-(2)作故OCOC就是求作的向量26,分别用基底ｉ、ja、b、c、d,并求出它们的坐标活动:本例要求用i、ja、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的示出来,进而得到向量a的坐标.另法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就a的坐标.同样的方法,b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:aby轴对称,ac关于坐标原点中心对称,adx轴对解:由图可知,a

+AA2i,j是两个不共线的向量,AB=3i+2jCB=i+λjCD=-2i+j,A、B、D三点共线,试求实λ的值.解:BD=DCB=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-又∵A、B、D三点共线ABBD共线.因此存在实数υ,AB=υBD∵ij是两个不共线的向量3v故v(1)v∴

A、B、D三点共线时例3下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;量,其中正确的说法是() 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解.,.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,.答案17,M是△ABC内一点,AM

3CM0,CMAB令CM=a,a表示CN活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.,:推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量若存在实数a1,a2,b1,b2使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则

b1a2b2解:AMANNMBMBN∴由AM2BM3CM=0,得(ANNM2(BNNM3CM∴AN3NM2BN3CM又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线由平行向量基本定理,ANBN,CM∴BN3NM2BN3NM∴(λ+2)BN+(3+3μ)NMBNNM不共线2∴33

∴∴CMNMMN.∴CNCMMN2CM点评:BNNM作为基底,运用化归思想,λ1e1+λ2e2=0决e1e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,λμλa+μb=5e1-e2,λμ的解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-又λa+μb=5e1-324528,△ABC中,AD为△ABCAE=2EC,AGBG的值 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与,.解:AG,BG BDDC,AD-AB=AC-AD1∴AD2

(AB+ACAG=λGD=λ(AD-AG∴AG

1

AD

AB

AC 又∵BG E,即AG-AB=μ(AE-AG∴(1+μ)AG=AB+μAE,AG= AB AE 又AE AC,∴AG

1AB

1AC 1

比较①②,ABAC不共线 1,

2(1) 1

AG ∴

解之,得3

2(1)

3(1)

点评:本例中,构造向量在同一基的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应,.过△OABGOA、OBP、Q,设OP=hOAOQkOB,试证11 解:设OA=aOB=b,OGAB于D,则OD2

(OAOB2

∴OG=3

OD=3

(a+b),QGOGOQ=3

3

1 3QPOPOQ=ha-∵P、G、Q三点共线,QGQP1 1 ∴

两式相除,∴11

1

hkh3hk.k G为△ABC的重心,AB=aAC=b,a、bAGa=(x+3,x2-3x-4)AB相等,其中A(1,2),B(3,2),解答9,AG=3

ADADABBDAB1BCa1(b-a1a1 ∴AG2AD2(1a+ 3

∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-x3