2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题07 分式的化简与求值含答案

2024初中数学竞赛八年级竞赛辅导讲义专题07分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形；4．整体代入；5．利用比例性质等．例题与求解【例l】已知，则代数式的值为．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”．【例2】已知一列数且，，，则为（）A．648B．832C．1168D．1944（五城市联赛试题）解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】．求．（宣州竞赛试题）解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】已知求的值．（上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明．（北京市竞赛试题）【例6】已知为正整数，满足如下两个条件：①②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形．解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若，则的值是．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知，则．（广东竞赛试题）若且，则的值为．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知，则．5．如果，那么（）．A．1B．2C．D．（“新世纪杯”竞赛试题）设有理数都不为0，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．零D．不能确定7．已知，则的值为（）．A．0B．1C．2D．不能确定8．已知，则的值为（）A．1B．C．D．9．设，求的值．10．已知其中互不相等，求证．（天津市竞赛试题）11．设满足，求证．（为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为．（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若，判断这个三角形的形状并证明．13．已知，求的值．（“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）：（1）；（江苏省竞赛试题）（2）；（“五羊杯”竞赛试题）（3）．（北京市竞赛试题）B级1．设满足，，若，，则．2．若，且，则．3．设均为非零数，且，则．4．已知满足，则的值为．5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（）．A．B．C．D．6．如果，，那么的值为（）．A．3B．8C．16D．207．已知，则代数式的值为（）．A．1996B．1997C．1998D．199998．若，则的值为（）．A．B．C．5D．6（全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数满足．（1）求证：；（2）求的值．（北京市竞赛试题）10．已知，且．求的值．（北京市竞赛试题）完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，求证：．（天津市竞赛试题）12．设，当时，求证：．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．

（1）扶梯露在外面的部分有多少级？

（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）专题07分式的化简求值例1提示：例2A提示：==，得k=，又油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.原式====-①②③例4x=提示：由已知条件知xy≠0，yz≠0，取倒数，得：即①②③①+②+③，得例5提示：由已知条件，得==例6由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，①或b=a+c，②或c=b+a，③，联立①③，只需证a=16或或b＝16或c＝16，即（a－16）（b－16）（c－16）＝0.④展开只需证明0＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋162（a＋b＋c）－163＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋163⑤将①平方、移项，有a2＋b2＋c2＝322－2（ab＋bc＋ca），⑥又将②移项、通分，有0＝－（＋＋）＝－（＋＋）＝＝把⑥代入等式中，0＝＝＝当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，以，，为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a，均能以，，为三边长组成一个直角三角形.A级1.0或－22.∵＝1，∴x＋＝4.又∵＝5，∴＝3.4.35.A6.C提示：b2＋c2－a2＝－2bc7.B8.C提示：取倒数，得x＋＝1＋m，原式的倒数＝x3＋－m39.1提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）10.提示：由x＋＝y＋，得x－y＝－，得zy＝11.提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012.（1）∵＝，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵＋＝＋，∴＝∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0,a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13.3x＝，y＝，c＝，∴＋＝＋＝1，∴原式＝3.14.（1）x＝－（2）x＝（3）（x，y，z）＝（，，）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1.22.－1或8提示：设＝＝＝k，则k＝－1或23.4.0提示：由＝1－－，得：＝x－－5.A6.C7.D提示：原式＝＝＝＝＝x2－5x＋88.A提示：由已知条件得x＝3y9.（1）由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c∴a3＋b3＋c3＝－3ab（a＋b）＝3abc（2）∵（＋＋）·＝1＋，∴同理：（＋＋）·＝1＋，（＋＋）·＝1＋，∴左边＝3＋＋＋＝3＋＝910.∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a，①a≠0.＝＝3.把①代入上式中，＝3，消元得＝3，解得m＝19.11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则即解得x＝.12.由A＋B＋C＝－3得（＋1）＋即分解因式，得(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c)＝0b＋c－a，a＋b－c，a－b＋c中至少有一个为0，不妨设b＋c－a＝0，代入式中，A2002＋B2002＋C2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则得∴S＝54．（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m－1)编，走过楼梯(n－1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分．，即，得6n＋m＝16，m，n中必有一个是正整数，且0≤︱m－n︱≤1．①，m分别取值，则有m12345n2②m＝16－6n，分别取值，则有m12n104显然，只有m＝3，n＝满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋×54＝198级．∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．专题08分式方程阅读与思考分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件．例题与求解【例1】若关于的方程＝－1的解为正数，则的取值范围是______．（黄冈市竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．【例3】解下列方程：（1）；（“五羊杯”竞赛试题）（2）；（河南省竞赛试题）（3）＋＝3．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程的解是___________．（江苏省竞赛试题）（2）方程的解是________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．（江苏省竞赛试题）解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程的正整数解．（“希望杯”竞赛试题）解题思路：易知都大于1，不妨设1＜≤≤，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A级1．若关于x的方程有增根，则的值为________．（重庆市中考试题）2．用换元法解分式方程时，如果设＝，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是___________．（上海市中考试题）3．方程的解为__________．（天津市中考试题）4．两个关于的方程与有一个解相同，则＝_______．（呼和浩特市中考试题）5．已知方程的两根分别为，，则方程的根是（）．A．，B．，C．，D．，（辽宁省中考试题）6．关于的方程的解是正数，则的取值范围是（）A．＞－1B．＞－1且≠0C．＜－1D．＜－l且≠－2（孝感市中考试题）7．关于的方程的两个解是1＝，2＝，则关于的方程的两个解是（）．A．，B．－1，C．，D．，8．解下列方程：（1）；（苏州市中考试题）（2）．（盐城市中考试题）已知．求10＋5＋的值．10．若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值．（黄冈市竞赛试题）已知关于的方程2＋2＋，其中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.（聊城市中考试题）12．若关于的方程无解，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）B级方程的解是__________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．方程的解为__________．3．分式方程有增根，则的值为_________．4．若关于的分式方程＝－1的解是正数，则的取值范围是______．（黑龙江省竞赛试题）5．（1）若关于x的方程无解，则＝__________．（沈阳市中考试题）（2）解分式方程会产生增根，则＝______．（“希望杯”邀请赛试题）6．方程的解的个数为（）．A．4个B．6个C．2个D．3个7．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）．A．＜lB．＜1且≠0C．≤1D．≤1且≠0（山西省竞赛试题）8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（）．A．1B．2C．3D．4（江苏省竞赛试题）9．已知关于的方程（2－1）有实数根．（1）求的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为1，2，且，求的值.（TI杯全国初中数学竞赛试颞）求方程－＋＋2006＝0的正整数解.（江苏省竞赛试题）11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？（齐齐哈尔市中考试题）专题08分式方程例1a＜2且a≠－4例2原式右边＝＝得∴∴A＋B＋C＝13．例3（1）x＝提示：．（2），x3＝－1，x4＝－4提示：令（3）提示例4（1）原方程化为，即，进一步可化为(x＋2)(x＋3)＝(x＋8)(x＋9)，解得x＝－．（2）原方程化为，即，解得x＝2．例5原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0①，当k＝0时，原方程有唯一解x＝；当k≠0，Δ＝5k2＋4(k－1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x＝0或x＝1，显然0不是①的根，故x＝1是方程①的根，代入的k＝．∴当k＝0或时，原方程只有一个解．例6，即，因此得x＝2或3．当x＝2时，＝，即，由此可得y＝4或5或6；同理，当x＝3时，y＝3或4，由此可得当1≤x≤y≤z时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4，3，4)．A级1．－12．y2－2y－1＝03．14．－85．D6．D7．D8．(1)(2),9．15250提示：由x＋得则，得．于是，得．进一步得．故原式＝15250．10．k＝0或k＝提示：原方程化为kx2－3kx＋2x－1＝0，分类讨论．11．设x＋2x＝y，则原方程可化为y2－2my＋m2－1＝0，解得y1＝m＋1，y2＝m－1．∵x2＋2x－m－1＝0①，x2＋2x－m＋1＝0②，从而Δ1＝4m＋8，Δ2＝4m中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m＝0代入原方程，解得12原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)=－3①,∵原方程无解,∴a+2=0或x－1=0,x+2=0,得B级3或－7x₁=8,x₂=－1,x₃=－8,x₄=1提示:令x²－8=y3提示:由有増根可得m=0或m=3,但当m=0,化为整式方程时无解a<2且a≠－4⑴－2⑵－4或－10A设甲单独做需要x天完成,乙单独做需要y天完成,丙单独做需要z天完成则.解.当a≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a²-1﹚≥0,解得设总获利为W元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1．．说明了与、2一样都是非负数．2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3．揭示了与绝对值的内在一致性．4．（≥0，≥0）．5．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤≤2，经化简，＝___________．解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．【例3】若＞0，＞0，且，求的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．【例4】若实数，，满足关系式：，试确定的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知，求＋＋的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC三边的长分别为，，2（＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．图1图2图1图2能力训练A级1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知为实数，化简．解：原式＝．3．已知正数，，有下列命题：（1）若＝1，＝1，则1；（2）若＝，＝，则；（3）若＝2，＝3，则；（4）若＝1，＝5，则3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______．5．代数式的最小值是（）．A．0B．1＋C．1D．不存在6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．A．和2B．3和3C．和D．和（“希望杯”邀请赛试题）7．化简的结果是（）．A．6－6B．－6＋6C．－4D．4（江苏省竞赛试题）8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数（武汉市竞赛试题）9．已知，其中≠0，求的值．（山东省中考试颗）10．已知与的小数部分分别是，，求的值．（浙江省竞赛试题）11．设，，为两两不等的有理数．求证：为有理数．（北京市竞赛试题）12．设，都是正整数，且使，求的最大值．（上海市竞赛试题）B级1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．2．已知实数满足，则－19992＝___________．3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．（北京市竞赛试题）4．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对（，）的个数是（）A．0B．1C．2D．3（江苏