2018版数学二轮复习大题规范练12“20题、21题”24分练理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE5学必求其心得，业必贵于专精大题规范练（十二）“20题、21题”24分练（时间：30分钟分值：24分)解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．如图12，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0)是椭圆C:eq\f（x2，24)＋eq\f(y2，12）＝1上的一点,从原点O向圆R：(x－x0)2＋（y－y0）2＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q。图12(1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2）若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1,k2,求k1k2的值.【导学号：07804243】［解](1)连接OR(图略）．设圆R的半径为r,由圆R的方程知r＝2eq\r（2），因为直线OP,OQ互相垂直，且和圆R相切，所以｜OR|＝eq\r（2)r＝4，即xeq\o\al（2,0)＋yeq\o\al（2，0)＝16.①又点R在椭圆C上,所以eq\f（x\o\al(2,0),24)＋eq\f（y\o\al（2，0）,12）＝1, ②联立①②,解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2\r(2），,y0＝2\r（2),))所以圆R的方程为（x－2eq\r（2)）2＋(y－2eq\r（2))2＝8.(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ:y＝k2x都与圆R相切，所以eq\f（|k1x0－y0|,\r（1＋k\o\al(2,1)))＝2eq\r(2)，eq\f(｜k2x0－y0|,\r（1＋k\o\al（2,2)))＝2eq\r（2)，化简得(xeq\o\al（2，0)－8）keq\o\al(2，1)－2x0y0k1＋yeq\o\al（2，0）－8＝0，(xeq\o\al（2，0)－8)keq\o\al（2，2）－2x0y0k2＋yeq\o\al(2,0）－8＝0.所以k1，k2是方程(xeq\o\al(2，0)－8)k2－2x0y0k＋yeq\o\al(2，0）－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系,得k1k2＝eq\f(y\o\al（2,0）－8，x\o\al（2,0）－8）,因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以eq\f(x\o\al(2，0），24)＋eq\f(y\o\al(2,0），12)＝1，即yeq\o\al(2，0)＝12－eq\f（1，2)xeq\o\al（2，0)，所以k1k2＝eq\f（4－\f（1,2）x\o\al(2,0）,x\o\al(2,0）－8）＝－eq\f（1,2）.21．已知函数f（x)＝eq\f(a，x)－eq\f(1，x2）－b＋lnx(a,b∈R)．(1)若函数f(x）在（0，＋∞）上单调递增,求实数a的取值范围；（2)若a＝3,函数f（x）有3个零点,求实数b的取值范围．［解](1)f（x)的定义域为(0,＋∞)，f′（x)＝－eq\f（a，x2）＋eq\f（2,x3）＋eq\f（1，x）.由题意可得f′(x）≥0在(0,＋∞）上恒成立，即－eq\f（a，x2）＋eq\f(2,x3）＋eq\f（1,x）≥0，所以eq\f（a，x2）≤eq\f(2，x3)＋eq\f(1,x），因为x＞0，所以x2＞0，故a≤eq\f（2，x)＋x.由基本不等式可得eq\f（2,x)＋x≥2eq\r(2)(当且仅当eq\f(2，x）＝x，即x＝eq\r(2)时等号成立）,故实数a的取值范围为（－∞，2eq\r（2）］．（2)当a＝3时,f（x）＝eq\f(3，x)－eq\f（1,x2)－b＋lnx,函数f（x）的定义域为（0，＋∞)，f′（x）＝－eq\f（3，x2）＋eq\f(2,x3）＋eq\f（1，x)＝eq\f（x2－3x＋2,x3）＝eq\f(x－1x－2，x3)。由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x）的变化情况如下表：x（0,1）1（1,2)2(2,＋∞）f′（x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f（x)的极大值为f（1)＝3－1－b＋ln1＝2－b，极小值为f（2)＝eq\f（3，2)－eq\f（1，22)－b＋ln2＝eq\f(5，4)－b＋ln2.要使函数f（x)有3个零点，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2－b＞0,,\f(5,4)－b＋ln2＜0，）)解得eq\f(5,4)＋ln2＜b＜2。故实数b的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1