中考数学模拟试卷(附答案解析)

数学中考综合模拟检测试题学校________班级________姓名________成绩________（满分120分,考试用时120分钟）第一部分（选择题共30分）一、选择题（共10小题,每小题3分,计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.4算术平方根是()A.±2 B.2 C.±4 D.42.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是（）A B. C. D.3.下列各式运算正确的是（）A. B. C. D.4.如图,AB∥CD,AF交CD于点E,DF⊥AF于点F,若∠A＝40°,则∠D＝（）A.40° B.50° C.60° D.70°5.把一次函数先关于轴对称,再向左移2个单位,所得直线表达式（）A. B. C. D.6.如图,在中,交于点平分交于点,则的长为（）A.2 B. C. D.7.平面直角坐标系中,已知直线与直线的交点在第二象限,则的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图,的边,点是边的中点,,连接,将沿着折叠,点落在．若,则点到边的距离是（）A. B. C. D.9.如图,是的直径,点都在上,,若,则的半径（）A.10 B.2 C. D.510.抛物线经过,对称轴直线,关于的方程在的范围有实数根,则的范围（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共90分）二、填空题（共4小题,每小题3分,计12分）11.若分式有意义,则的取值范围是_____．12.如图中,,将绕点逆时针旋转后,到,点经过的路径为,已知,则图中阴影部分的面积________13.如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,的边在轴上,顶点在轴的正半轴上,点在第一象限,将沿轴翻折,使点落在轴上的点处,点恰好为的中点,与交于点.若图象经过点,且,则的值为____.14.如图,中,,则的最大值是_________．三、解答题（共11小题,计78分．解答应写出过程）15.计算．16.先化简,再求值：（﹣a+1）÷,其中从a从﹣1,2,3中取一个你认为合适的数代入求值．17.如图：内一点,求作：中经过点最短弦．18.如图,在平行四边形中,为边上一点,且．求证：．19.体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个）,根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表：组别个数段频数频率150.12210.4234（1）表中的数,；（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．20.如图,两楼地面距离BC为米,楼AB高30米,从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．（1）求的大小；（2）求楼CD高度（结果保留根号）．21.深圳某学校为构建书香校园,拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%,用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个,其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案,使得花费最少．22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研宄函数性质及其应用的部分过程,请按要求完成各题．（1）请确定下表中的和的值,并在图中补全该函数图象；______；________…012345……03…（2）该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值．当_____时,函数取得最大值；当______时,函数取得最小值．（3）自变量,当______时,随的增大而减小；当_______时,随的增大而增大．（4）已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式的解集（保留1位小数,误差不超过0.2）．23.如图,是的直径,点为外一点,连接交于点,连接并延长交线段于点．（1）判断与的位置关系,并证明你的结论；（2）若,求的值．24.如图在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,顶点为．

参考答案第一部分（选择题共30分）一、选择题（共10小题,每小题3分,计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1.4的算术平方根是()A.±2 B.2 C.±4 D.4【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的定义进行判断即可.【详解】∵,∴2是4算术平方根故选B.【点睛】本题主要考查算术平方根的定义,熟练掌握定义是关键.2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选C．【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体,俯视图为几边形就是几棱柱．3.下列各式运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方,底数不变指数相乘；同底数幂相乘,底数不变指数相加；合并同类项的法则,对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、a2与不是同类项,不能合并,故本选项错误；

B、,故本选项错误；

C、,故本选项错误；D、,正确．

故选：D．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质,同底数幂的乘法,合并同类项的法则,熟练掌握运算性质是解题的关键,合并同类项时,不是同类项的不能合并．4.如图,AB∥CD,AF交CD于点E,DF⊥AF于点F,若∠A＝40°,则∠D＝（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】B【解析】【分析】先根据两直线平行,同位角相等求出∠DEF=∠A,再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB∥CD,∠A=40°,∴∠DEF=∠A=40°,∵DF⊥AF,∴∠D=180°-90°-40°=50°．故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5.把一次函数先关于轴对称,再向左移2个单位,所得直线表达式（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意根据“关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标是原来的相反数”将y换成-y,进而依照“左加右减”的运动规则,将原解析式中x换算成x+2,整理后即可得出结论．【详解】解：直线关于x轴对称的直线所对应的函数表达式为,即,将直线向左平移2个单位,函数表达式变形为．故选：A．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标是原来的相反数以及函数图象在坐标系中平移的规律“左加右减,上加下减”．6.如图,在中,交于点平分交于点,则的长为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别过点A、E作AF⊥BC,EG⊥BC,分别交BC于点F,G,由题意易得AF=2,则有,设EG=BG=AE=x,进而可得,然后可得,最后问题可求解．【详解】解：分别过点A、E作AF⊥BC,EG⊥BC,分别交BC于点F,G,如图所示：∵,∴△AFB、△BEG、△BAD都为等腰直角三角形,∴EG=BG,AF=BF=DF,,∵,∴,∴,∵平分,∴EG=AE,设EG=BG=AE=x,则有,∵,∴,解得：；∴；故选D．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算,熟练掌握等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算是解题的关键．7.平面直角坐标系中,已知直线与直线的交点在第二象限,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意易得,则有,然后根据交点在第二象限可进行分类求解．【详解】解：由题意可联立直线与直线得：,解得：,∵交点在第二象限,∴,当,即,则,,∴与题意矛盾,当且,即,则,∴与题意矛盾；当,即,则有,,∴,符合题意；综上所述：；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及分类讨论思想,熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论思想是解题的关键．8.如图,的边,点是边的中点,,连接,将沿着折叠,点落在．若,则点到边的距离是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别过点E、A作于点F,于点H,由题意易得,,进而可得∠FCE=∠AEH,则,设,点到边的距离是h,则,然后根据勾股定理可求解x,最后根据等积法可求解．【详解】解：分别过点E、A作于点F,于点H,如图所示：∵点是边的中点,,∴,∵,∴,∴,由折叠的性质可得,∵,∴,∴,设,点到边的距离是h,则,∵,∴在Rt△ABH中,,即,解得：（不符合题意,舍去）,∴,∴根据△ABE的面积可得：,即,∴,即点到边的距离是；故选A．【点睛】本题主要考查三角函数、折叠的性质及等积法,熟练掌握三角函数、折叠的性质及等积法是解题的关键．9.如图,是的直径,点都在上,,若,则的半径（）A10 B.2 C. D.5【答案】D【解析】【分析】延长CO,交于点E,连接ED,AC,由题意可得,进而根据勾股定理可得CE的长,然后问题可求解．【详解】解：延长CO,交于点E,连接ED,AC,如图所示：∵是的直径,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴在Rt△CDE中,,∴的半径为5；故选D．【点睛】本题主要考查圆周角定理及勾股定理,熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．10.抛物线经过,对称轴直线,关于的方程在的范围有实数根,则的范围（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意先得出抛物线的解析式,进而利用根的判别式以及二次函数图象的性质进行分析计算即可．【详解】解：∵抛物线经过,∴将代入可得,∵对称轴直线,∴,解得,∴抛物线为,∴,∵关于的方程在的范围有实数根,∴,解得,且同时满足当,以及当,解得（舍去）,或者当,以及当,解得,综上可得的范围为：．故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的结合,熟练掌握二次函数图象的性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．第二部分（非选择题共90分）二、填空题（共4小题,每小题3分,计12分）11.若分式有意义,则的取值范围是_____．【答案】x≠2【解析】【详解】试题分析：由题意,得x﹣2≠0．解得x≠2考点：分式有意义的条件．12.如图中,,将绕点逆时针旋转后,到,点经过的路径为,已知,则图中阴影部分的面积________【答案】【解析】【分析】连接EB,由旋转的性质可得AB=AE=4,∠EAB=45°,则由题意可得阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积,进而可得阴影部分的面积即为扇形EAB的面积,然后问题可求解．【详解】解：连接EB,如图所示：∵,,∴∠ABC=30°,,由旋转的性质可得AB=AE=4,∠EAB=45°,,由阴影部分的面积等于四边形DABE的面积减去△ABC的面积再加上弓形BE的面积,可得：,∴；故答案为．【点睛】本题主要考查扇形面积公式,熟练掌握扇形面积计算公式及割补法求解不规则图形面积是解题的关键．13.如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,的边在轴上,顶点在轴的正半轴上,点在第一象限,将沿轴翻折,使点落在轴上的点处,点恰好为的中点,与交于点.若图象经过点,且,则的值为____.【答案】24.【解析】【分析】作,作,设,,由翻折的性质得：,根据全等三角形性质得,结合题意可得,,由平行四边形性质得,,,,,根据相似三角形判定和性质得,从而得,由三角形面积公式得,即,将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.【详解】作,作,如图,设,,依题可得：,∴,∴,∵为中点,∴,∴,∵四边形是平行四边形,∴,,,∴,∴,又∵,∴,∴,又∵,∴即,∴,∵在反比例函数上,∴.故答案为24.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义,折叠的性质,平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键．14.如图,中,,则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】过点作,交延长线于点,设,先利用直角三角形的性质、勾股定理可得,再设,从而可得,然后在中,利用勾股定理可得一个关于的一元二次方程,利用方程根的判别式求解即可得．【详解】解：如图,过点作,交延长线于点,设,在中,,,,,设,则,,在中,,即,整理得：,这个关于的一元二次方程有实数根,此方程根的判别式,即,解一元二次方程得：,由二次函数的性质可知,当时,,又,,的最大值为,即的最大值为,故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式等知识点,正确将所求问题转化为一元二次方程问题是解题关键．三、解答题（共11小题,计78分．解答应写出过程）15.计算．【答案】【解析】【分析】根据整数指数幂运算法则和特殊角的三角函数值分别化简,再合并求解即可．【详解】原式【点睛】本题考查整数指数幂的运算以及特殊角的三角函数值综合运算,熟记基本运算法则以及特殊角的三角函数值是解题关键．16.先化简,再求值：（﹣a+1）÷,其中从a从﹣1,2,3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】﹣a﹣1,-4【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再利用分式有意义的条件选取符合条件的a的值代入计算即可．【详解】解：（﹣a+1）÷＝＝＝＝＝＝﹣a﹣1,∵a≠﹣1且a≠2,∴a＝3,原式＝﹣3﹣1＝﹣4．【点睛】本题考查分式的混合运算,掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．17.如图：内一点,求作：中经过点的最短弦．【答案】见详解【解析】【分析】根据题意利用圆内最短的弦为过这点且垂直于过这个点的直径的线段,进而得出答案．【详解】解：如图所示：线段AB即为所求中经过点的最短弦．【点睛】本题考查复杂作图-垂径定理,注意掌握圆内最长弦为直径,最短的弦为过这点且垂直于过这个点的直径的线段．18.如图,在平行四边形中,为边上一点,且．求证：．【答案】证明见解析.【解析】【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC,,证得,从而可证≌,故可得结论.试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形,∴,．∵,∴,．∵,∴．又,∴≌,∴．19.体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个）,根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表：组别个数段频数频率150.12210.4234（1）表中的数,；（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．【答案】（1）20,0.08；（2）45人；（3）【解析】【分析】（1）先算出抽查的总人数,再利用扇形统计图求出a,即可求出b.（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×0.1=45人；（3）列表列出所有可能结果,再求概率即可；【详解】解（1）抽查了九年级学生数：（人）,的人数：（人）,即,的人数：（人）,,故答案为20,0.08；（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×0.1=45（人）,答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为45人；（3）列表如下．【点睛】本题考查的是概率,熟练掌握表格和扇形统计图获取信息和列表法求概率是解题的关键.20.如图,两楼地面距离BC为米,楼AB高30米,从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．（1）求的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】（1）75°；（2）【解析】【分析】（1）如图：过点A作于点E,在Rt△ABC中运用三角函数可得,即、进一步可得∠EAC=30°,再结合即可解答；（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE,最后利用CD=CE+DE进行计算即可．【详解】（1）如图：过点A作于点E,∵在Rt△ABC中,∵AE//BC；(2)∵在RtAED中,AE=BC=,∠DAE=45°∴DE=AE=∵在Rt△ACE中,∠CAE=30°∴CE=tan30°·AE=30．【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形,灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．21.深圳某学校为构建书香校园,拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%,用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台．（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个,其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案,使得花费最少．【答案】（1）每个甲种书柜的进价为360元,每个乙种书柜的进价为300元；（2）购进乙种书柜20个,则购进甲种书柜40个时花费最少,费用为19200元．【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元,每个甲种书柜的进价为1.2x元,根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台,列方程求解；

（2）设购进甲种书柜m个,则购进乙种书柜（60-m）个,根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍,列不等式组求解．【详解】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元,则每个甲种书柜的进价为1.2x元,根据题意得,,解得x=300,经检验,x=300是原方程的根,300×1.2=360（元）．故每个甲种书柜的进价为360元,每个乙种书柜的进价为300元；（2）设购进甲种书柜m个,则购进乙种书柜（60-m）个,购进两种书柜的总成本为y元,根据题意得,,解得y=60m+18000（m≥20）,∵k=60＞0,∴y随x的增大而增大,当m=20时,y=19200（元）．故购进甲种书柜20个,则购进乙种书柜40个时花费最少,费用为19200元．【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程和不等式组求解．22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研宄函数性质及其应用的部分过程,请按要求完成各题．（1）请确定下表中的和的值,并在图中补全该函数图象；______；________…012345……03…（2）该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值．当_____时,函数取得最大值；当______时,函数取得最小值．（3）自变量,当______时,随的增大而减小；当_______时,随的增大而增大．（4）已知函数的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式的解集（保留1位小数,误差不超过0.2）．【答案】（1）图象见详解,,；（2）1,-1；（3）或,；（4）或．【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行求解a、b的值,然后由表格可进行作图；（2）由（1）中图象可直接进行求解；（3）由图象可直接进行求解；（4）通过图象及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）由表格可得：把x=-3和x=3分别代入函数得：,,补全函数图象如图所示：故答案为,；（2）由图象可得：当时,函数取得最大值；当时,函数取得最小值；故答案为1,-1；（3）由图象可得：当或时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；故答案为或,；（4）由题意可联立两个函数解析式得,∴结合图象可得当时,则x的解集为或．【点睛】本题主要考查函数图象及一次函数的图象与性质,熟练掌握函数图象及一次函数的图象与性质是解题的关键．23.如图,是的直径,点为外一点,连接交于点,连接并延长交线段于点．（1）判断与的位置关系,并证明你的结论；（2）若,求值．【答案】（1）与相切,理由见详解；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得,,,进而根据角的等量关系可进行求解；（2）由题意易证△CDE∽△CAD,然后根据相似三角形的性质可得,则有,进而可得,则问题可求解．详解】解：（1）与相切,理由如下：∵,∴,∵是的直径,∴,∴,∵,∴,∴,即,∵是的半径,∴与相切；（2）∵,,∴△CDE∽△CAD,∴,∵,∴,∴,即,∴,∵是的直径,∴,∴,由（1）可知,∵,∴,∴．【点睛】本题主要考查切线的判定、三角函数及相似三角形的性质与判定,熟练掌握切线的判定、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．24.如图在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点,使得,若存在,求出点的横坐标：若不存在,请说明理由．【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）存在,当时,点M的横坐标为或或-2．【解析】【分析】（1）把点A、C的坐标代入进行求解即可；（2）由题意易得顶点,则易求直线AC的解析式为,过点M作MH∥y轴,交AC于点H,抛物线的对称轴与AC的交点为E,设点,则,进而根据铅垂法可得,然后求解即可．【详解】解：（1）把点、代入得：,解得：,∴抛物线的表达式为；（2）由（1）可得抛物线的表达式为,则有,∴顶点,设直线AC的解析式为,把点A的坐标代入得：,解得：,∴直线AC解析式为,过点M作MH∥y轴,交AC于点H,抛物线的对称轴与AC的交点为E,如图所示：设点,∴,由铅垂法可得△ADC的水平宽为点A、C的水平距离,即为3,铅垂高即为,△AMC的水平宽也为3,铅垂高即为,∵,∴,∴,当点M在直线AC的上方抛物线上的点时,即,解得：,∴点M的横坐标为-2；当点M在直线AC的下方抛物线上的点时,即,解得：,∴点M的横坐标为或,综上所述：当,点M的横坐标为或或-2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合,熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键．25.在矩形中,点是射线上一动点,连接,过点作于点,交直线于点．（1）当矩形是正方形时,以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形,连接．①如图1,若点在线段上,则线段与之间的数量关系是_______,位置关系是_______；②如图2,若点在线段的延长线上,①中的结论还成立吗