一阶偏微分方程

第三章一阶偏微分方程

1、特征线法2、非线性波与追赶现象第1页/共50页第一页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法§1.1一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解

例，一阶PDE

通解第2页/共50页第二页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题）

第3页/共50页第三页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题

第4页/共50页第四页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法§1.2特征线法的几何原理向量

(P,Q,R)

与解曲面u=u(x,y)的法线方向 相互垂直，与

(P,Q,R)

共线的线元(dx,dy,du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y)

。 第5页/共50页第五页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法

第6页/共50页第六页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法

第7页/共50页第七页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法因此，特征线法的求解思路是

——用特性曲线来编织解曲面

1。求出与向量场(P,Q,R)

共线的特征曲线；

2、让该曲线通过初始曲线

第8页/共50页第八页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法特征线方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常数，由初始曲线 确定 第9页/共50页第九页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法解曲面由以下双参变量形式给出 参变量s沿特征曲线方向变化， 参变量沿初始曲线方向变化。

第10页/共50页第十页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法例2.1

特征线方程初始曲线

第11页/共50页第十一页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法解出

消去参变量

第12页/共50页第十二页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法以积分常数形式给出的特征线解

特征方程通解初始曲线限制解曲面

第13页/共50页第十三页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 第14页/共50页第十四页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法§1.3特征线法的物理意义 波动——物理量在空间的传播过程 特征线——物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1．管道中的溶质输送问题

第15页/共50页第十五页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法特征线

初始曲线解得

x－vt＝ξ

第16页/共50页第十六页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法图象——矩形方波以速度v传播

c0xt=0t=t1t=t2vvv第17页/共50页第十七页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法 x-t平面的特征线及图解法

第18页/共50页第十八页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法

例2．线性色谱问题 特征线

第19页/共50页第十九页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法x轴给出的初值的解

t轴给出的边值的解

第20页/共50页第二十页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法 x-t平面的特征线

第21页/共50页第二十一页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法

斜坡输入时的图象

第22页/共50页第二十二页，共51页。第三章一阶偏微分方程——特征线法

例3

有化学反应时的色谱波动图象

——浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变 特征线不相交

第23页/共50页第二十三页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象

§2非线性波与追赶现象

1。追赶问题——稀疏波 身高曲线 初始分布

第24页/共50页第二十四页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象特征线

解得

第25页/共50页第二十五页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象图象——

稀疏波

xh00hh00hxxt=0时刻的初始分布t=t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线第26页/共50页第二十六页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象 2。追赶问题——激波初始分布：前低后高 解得

第27页/共50页第二十七页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象图象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0h=h0h=0第28页/共50页第二十八页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象特点 追赶，特征线相交，不真实的多值分布， 非线性本征属性原因：形成强间断——激波，微分方程失效 问题：补充间断面上的关系

第29页/共50页第二十九页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象 3。激波间断关系

x0xsxrxll,qlr,qrdxs/dt第30页/共50页第三十页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象激波间断关系

熵条件处理含间断问题的原则：分段求解

第31页/共50页第三十一页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象例1

含有激波的追赶问题

间断条件

初值

第32页/共50页第三十二页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象图象

xh00hx/h0t0t</h0t=/h0t>/h0t=0CSI第33页/共50页第三十三页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象

例2

非线性吸附反应器

第34页/共50页第三十四页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象特征曲线

波速

第35页/共50页第三十五页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象激波间断条件

特征线光滑解

第36页/共50页第三十六页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象

将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹

第37页/共50页第三十七页，共51页。第三章一阶偏微分方程——追赶现象图象

x0cxt0t=t1S第38页/共50页第三十八页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题

§3化学剂段塞的色谱运动问题

第39页/共50页第三十九页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题物理图象：前沿——激波；后缘——中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用

第40页/共50页第四十页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题特征线

第41页/共50页第四十一页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题解题思路

1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；

2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。

第42页/共50页第四十二页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题

问题

第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题特征线方程

初始曲线

第43页/共50页第四十三页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题

1。运动初期激波稀疏波平台区 第44页/共50页第四十四页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度） 联立得到 第45页/共50页第四十五页，共51页。第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题激波轨迹激波浓度段塞宽度

第46页/共50页第四十六页，共51页。第三章一阶偏微分方程——小结1、关于特征线法 几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)与曲面法向之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P,Q,R)求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。 物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。

第47页/共50页第四十七页，共51页。第三章一阶偏微分方程——小结2、关于非线性波动的概念 线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。 非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。 处理激波问题的思