《函数的奇偶性》示范课教学课件【高中数学人教A版】

函数的奇偶性

问题1

观察图中的两个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？问题导入图象的共同特征是它们都有对称性．问题2

阅读课本，你能说说如何研究奇偶性吗？先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的直观定性认识；新知探究然后利用动图或表格研究发现数量变化特征；再用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义．

问题3

观察函数f（x）＝x2和g（x）＝2－|x|的图象（如图），思考以下问题：新知探究（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？（1）关于y轴对称；（2）？

追问1

宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上的点，其余的点都是成对出现．任取函数f（x）＝x2的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？若点A在y轴上，则点A对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′，此时点A与点A′就是一组对称点．新知探究

追问2

你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？横坐标相反，纵坐标相同（如图）．追问3

你能用函数语言描述该特征吗？当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．新知探究

问题3

（2）你能用符号语言描述函数f（x）＝x2的图象关于y轴对称的特征吗？∀x∈R，f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（－x）．新知探究

追问4

你能仿照上述过程，说明函数g（x）＝2－|x|也是偶函数吗？首先，图象关于y轴对称，任取图象上的一组关于y轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，即：∀x∈R，g（－x）＝2－|－x|＝2－|x|＝g（x），相应的函数值相等，g（x）＝2－|x|是偶函数．新知探究

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函数就叫做偶函数．追问5

“∀x∈I，都有－x∈I”说明定义域I具有什么性质？定义域关于原点对称．新知探究定义：

问题4

观察函数f（x）＝x和g（x）＝的图象（如图），思考以下问题：（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？（1）关于y轴对称；（2）？新知探究

追问1

宏观上看，这两个图象关于原点中心对称；微观上看，除了原点（如果原点在图象上），其余的点都是成对出现．任取函数f（x）＝x的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗？若点A是原点O，则对称点就是它本身；若点A不是原点，将A绕原点O旋转180°得到A′，此时点A与点A′就是一组对称点．新知探究

追问2

你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？横坐标相反，纵坐标相反（如图）．追问3

你能用函数语言描述该特征吗？当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．新知探究

问题4

（2）你能用符号语言描述函数f（x）＝x的图象关于原点中心对称的特征吗？∀x∈R，f（－x）＝－x＝－f（x）．新知探究追问4

你能仿照上述过程，说明函数g（x）＝也是奇函数吗？首先，图象关于原点中心对称，任取图象上的一组关于原点轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标也相反（如图）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，即：∀x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），相应的函数值相反，g（－x）＝＝＝－g（x），函数g（x）＝是奇函数．新知探究

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x），那么函数就叫做奇函数．新知探究定义：例1

判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．∀x∈R，都有－x∈R，函数f（x）＝x4为偶函数．且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），新知探究解：（2）函数f（x）＝x5定义域为R．∀x∈R，都有－x∈R，函数f（x）＝x5为奇函数．且f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），例1

判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究∀x∈I，都有－x∈I，解：（3）函数f（x）＝x＋的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），函数f（x）＝x＋为奇函数．例1

判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究∀x∈I，都有－x∈I，解：（4）函数f（x）＝的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝＝＝f（x），函数f（x）＝为偶函数．例1

判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究追问1

你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？第一步，求函数的定义域I．第二步，判断定义域是否关于原点对称．若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步．第三步，∀x∈I，计算f（－x）．若f（－x）＝f（x），则为偶函数；若f（－x）＝－f（x），则为奇函数；若f（－x）与f（x）既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数．新知探究（1）∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），函数f（x）＝x3＋x为奇函数．新知探究追问2

思考（1）判断函数f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）图是函数f（x）＝x3＋x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道y＝f（x）为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？追问2

思考（1）判断函数f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）图是函数f（x）＝x3＋x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道y＝f（x）为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，我们可以先将图象沿着y轴翻折，再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象（右图）．新知探究（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，然后根据对称性推断得到它在整个定义域内的性质．新知探究追问2

思考（1）判断函数f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）图是函数f（x）＝x3＋x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道y＝f（x）为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

问题5

回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：归纳小结（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同．（1）概念和步骤略；（2）相同点：①定义域关于原点对称；②都是函数的整体性质．不同点：①偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称；②当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反．

1．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，试将下图补充完整．目标检测2．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝2x4＋3x2；略．12奇函数．偶函数．（2）f（x）＝x3－2x

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3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f（x）是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；答案：（1）充分性：设P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，则y＝f（x）．因为函数f（x）的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点Q（－x，y）也在函数f（x）图象上，即y＝f（－x），所以对任意的x，都有f（－x）＝f（x），所以函数是偶函数．目标检测（2）从奇函数的定义出发，证明函数y＝f（x）是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称

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3．（1）从偶函数的定义出发，证明函数y＝f（x）是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；答案：（1）必要性：设P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，