江西省上饶市东塘中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

江西省上饶市东塘中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，∠BAC＝，AA1⊥平面ABC，则该三棱柱的外接球的表面积为A.36π

B.48π

C.72π

D.108π参考答案：C2.《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（

）A．升 B．升 C．升 D．升参考答案：D3.已知命题对任意，总有；“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.函数f(x)＝(x2－1)cos2x在区间[0,2π]上的零点个数为(

)(A)．6

(B)．5

(C)．4

(D)．3参考答案：B略5.等差数列{an}的通项公式an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列前10项的和为(

)A．120 B．70 C．75 D．100参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式，可得Sn==n（n+2），进而可得=n+2，分析可得数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}的通项公式an=2n+1，则其首项为3，公差为2，其前n项和为Sn==n（n+2），则=n+2，数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，有a1=3，a10=12，则其前10项的和为=75；故选C．【点评】本题考查数列的求和，关键是求出数列的通项，推出数列的性质，进而选择合适的求和公式．6.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．

B． C．

D．参考答案：C7.下列函数中，在内有零点且单调递增的是

（A） （B）

（C） (D)参考答案：B略8.等差数列{an}中，a1，a4025是函数的极值点，则log2a2013等于（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】等差数列的通项公式；利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，由导函数为0求得a1+a4025=8，结合等差数列的性质求得a2013，代入log2a2013得答案．【解答】解：由，得f′（x）=x2﹣8x+6．由f′（x）=x2﹣8x+6=0，得x1+x2=8，又a1，a4025是函数的极值点，∴a1+a4025=8，则，∴log2a2013=log24=2．故选：A．9.把二进制数110011（2）化为十进制数为（）A．50 B．51 C．52 D．53参考答案：B【考点】算法思想的历程．

【专题】计算题．【分析】根据所给的二进制的数字，写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方，倒数第二位乘以2的1次方，以此类推，写出后相加得到结果．【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51故选B．【点评】本题考查进位制之间的转化，本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方，注意这里的数字不用出错．10.已知平面向量，，，则λ的值为（）A．1+ B．﹣1 C．2 D．1参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ．【解答】解：=（2，2﹣λ），∵||=2，∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，.若或

，则的取值范围是

.参考答案： 12.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。参考答案：

本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.13.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，

若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；

②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；

④f(x)＝xex.参考答案：④略14.某地自行车的牌照号码由六个数字组成，号码中每个数字可以是到这十个数字中的任一个,那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中恰好出现两次的概率是

（精确到）。参考答案：15.某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名志愿者，抽到高一男生的概率是，则高二的学生人数为______．

高一高二高三女生男生参考答案：120016.函数的定义域是________．参考答案：略17.已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是．参考答案：a=0或a≥2【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象．当a=0，满足条件，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，故答案为：a=0或a≥2．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知参考答案：若时，有6种情况┉7分若分别在和内时，共有12种情况.┉┉┉9分

19.（12分）已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x），函数h（x）=g′（x），①若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；②证明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．参考答案：【分析】（1）求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a＞0，a＜0，由导数大于0，解得增区间；（2）①当a＞0时，求出g（x）的导数，由题意可得≥的最大值，求出右边函数的导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求a的范围；②由①可得＜，x∈N，可得2elnn＜n2，由累加法和对数的运算性质即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=ax（lnx﹣1）的导数为f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，当a＞0时，x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当a＜0时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有a＞0，f（x）的递增区间为（1，+∞）；a＜0时，f（x）的递增区间为（0，1）；（2）①当a＞0时，设函数g（x）=x3﹣f（x）=x3﹣ax（lnx﹣1），函数h（x）=g′（x）=x2﹣alnx，x＞0，h（x）≥0恒成立，即为≥的最大值，由y=的导数为，当x＞时，函数y递减；当0＜x＜时，函数y递增，即有x=取得最大值，则有≥，解得0＜a≤e；②证明：由①可得＜，x∈N，即有2elnn＜n2，可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，则ln（1?2?3…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，考查不等式的证明，注意运用已知不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求和的值；(2)⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC周长的取值范围.参考答案：21.已知函数f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x∈[，]，且F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）的最小值是﹣，求实数λ的值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）先利用两角和余差和二倍角等基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）x∈[，]时，化解F（x），求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可得实数λ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．化简可得：f（x）=sincos2x﹣cossin2x﹣2sin（x﹣）cos（π﹣+x）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）函数f（x）的最小正周期T=，∵2x﹣∈[，]，k∈Z单调递增区间；即≤2x﹣≤，解得：≤x≤，∴函数f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（2）由F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）=﹣4λsin（2x﹣）﹣cos（4x