2022年浙江省温州市荆谷中学高三数学理联考试题含解析

2022年浙江省温州市荆谷中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝的图象可能是()图2－4参考答案：B2.由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是(

)A．3 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=103时，不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．【解答】解：执行程序框图，可得k=1，s=1满足条件s＜100，s=4，k=2；满足条件s＜100，s=22，k=3；满足条件s＜100，s=103，k=4；不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，准确判断退出循环时k的值是解题的关键，属于基础题．4.已知是定义在R上的奇函数,当时(m为常数),则(1og35)A．4

B．-4

C．6

D．-6参考答案：B略5.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）A．

B．C．

D．参考答案：C6.下列说法中正确的是（

）①“，都有”的否定是“，使”.②已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则，，也成等比数列.③“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件.④已知变量x，y的回归方程是，则变量x，y具有负线性相关关系.A．①④

B．②③

C．②④

D．③④参考答案：D①“，都有”的否定是“，使”，该说法错误；②当数列的公比为-1时，可能是0，该说法错误.③对立一定互斥，互斥不一定对立，故“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件，该说法正确.④则变量，具有负线性相关关系，该说法正确.综合可得：正确的说法是③④.

7.已知函数f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，则实数a=(

) A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2参考答案：D考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数的表达式，先求f（0），再求f[f（0）]，解关于a的方程即可．解答： 解：∵函数f（x）=，∴f（0）=20+1=2，∴f[f（0）]=f（2）=4+2a=a2+4，∴a=0或a=2．故选：D．点评：本题考查分段函数及应用，考查分段函数值，应注意各段的范围，是一道基础题．8.已知函数f（x）=log2x，x∈[1，8]，则不等式1≤f（x）≤2成立的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．【解答】解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x）≤2即不等式1≤log2x≤2，解答2≤x≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x）≤2成立的概率是，故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是明确结合测度，本题利用区间长度的比求几何概型的概率．9.四面体中，与互相垂直,,且,则四面体的体积的最大值是

(

).A.4

B.2

C.5

D.参考答案：A略10.在边长为2的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足且，将△ADE沿直线DE折到的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是（

）A.在边上存在点F，使得在翻折过程中，满足平面B.存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面BCDEC.若，当二面角为直二面角时，D.在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为参考答案：D【分析】利用反证法可证明A、B错误，当且二面角为直二面角时，计算可得，从而C错误，利用体积的计算公式及放缩法可得，从而可求的最大值为，因此D正确.【详解】对于A，假设存在，使得平面，如图1所示，因为平面，平面平面，故，但在平面内，是相交的，故假设错误，即不存在，使得平面，故A错误.对于B，如图2，取的中点分别为，连接，因为为等边三角形，故，因为，故所以均为等边三角形，故，，因为，，，故共线，所以，因为，故平面，而平面，故平面平面，若某个位置，满足平面平面，则在平面的射影在上，也在上，故在平面的射影为，所以，此时，这与矛盾，故B错误.对于C，如图3（仍取的中点分别为，连接）因为，所以为二面角的平面角，因二面角为直二面角，故，所以，而，故平面，因平面，故.因为，所以.在中，，在中，，故C错.对于D，如图4（仍取的中点分别为，连接），作在底面上的射影，则在上.因为，所以且，所以其.又，令，则，当时，；当时，.所以在为增函数，在为减函数，故.故D正确.故选：D.

【点睛】本题考查平面图形的折叠问题、折叠过程的线面、面面关系的判断以及体积最值的计算，解题注意折叠前面变化的量与不变量的量，而线面、面面关系的判断要依据性质定理或判定定理，体积最值的计算首先要有目标函数，其次根据线段长度的大小关系放缩为一元函数，再利用导数求最值，本题为难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子构成，其空间结构为正四面体，碳原子位于该正四面体的中心，四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上，若将碳原子和氢原子均视为一个点（体积忽略不计），设碳原子与每个氢原子的距离都是a，则该正四面体的体积为_________．参考答案：12.已知函数，若，且，则_________________参考答案：

13.过原点作曲线的切线，则此切线方程为

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，ex0），再求出在点切点（x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题14.在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．参考答案：（0，15）或（﹣8，﹣1）考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心Γ（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式以及ΓD⊥BC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标．解答：解：设BC的中点为D，设点A（x1，y1）、C（x2，y2），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（，）．故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．设BC的方程为y﹣0=k（x﹣10），即kx﹣y﹣10k=0．则有=5，解得k=0或k=﹣．当k=0时，有，当k=﹣时，有．解得，或．再由三角形的重心公式可得，由此求得或，故点A的坐标为（0，15）或（﹣8，﹣1），故答案为（0，15）或（﹣8，﹣1）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题．15.（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则的值为．参考答案：【考点】：余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的度数，表示出B的度数，原式利用正弦定理化简后，整理即可求出值．解：∵在△ABC中，b2+c2+bc﹣a2=0，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，即A=120°，利用正弦定理化简得：=====．故答案为：【点评】：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16.已知正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为

.参考答案：试题分析：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且，三棱柱中，底面边长为，外接圆的半径为；∴球的半径为，四面体ABCD外接球表面积为：．考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．【思路点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．17.阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（2cos2x，1），=（2cos（2x﹣），﹣1）．令f（x）=?．（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间．（2）若f（θ）=，且θ∈（，），求cosθ的值．（2）当x∈[，]时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）由f（θ）=，求得sin（θ+）=，结合θ∈（，），求得cos（θ+）的值．再根据cosθ=cos[（θ+）﹣]计算求得结果．（3）由x∈[，]时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）取得最小值以及此时x的值．【解答】（1）f（x）=?=2cos2x?2cos（2x﹣）﹣1=4cos2x（cos2xcos+sin2xsin）﹣1=2cos22x+2sin2xcos2x﹣1=cos4x+sin4x=2sin（4x+），故函数f（x）的周期为=．令2kπ﹣≤4x+≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，可得f（x）的增区间为[得﹣，+]，k∈Z．（2）若f（θ）=2sin（θ+）=，可得sin（θ+）=＜，结合θ∈（，），可得θ+∈（，π），故cos（θ+）=﹣=﹣．∴cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin（θ+）sin=﹣×+×=．（3）当x∈[，]时，4x+∈[，]，﹣1≤sin（4x+）≤，故当4x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣2，此时，x=．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；(2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值。参考答案：20.已知向量，，函数，三个内角的对边分别为.（1）求的单调递增区间；（2）若，求的面积．参考答案：（1）函数的单调增区间为.（2）的面积.21.已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；(Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D—AE—B的大小。

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析(Ⅲ)120°解析：（Ⅰ）由三视图知PC⊥面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，-----------------4分（Ⅱ）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD∴PC⊥BD,而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，而AE?面ACE∴BD⊥AE-----------------7分(Ⅲ)法一：连接AC，交BD于O．由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设θ为二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影为O∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°-------------12分法二：以C为坐标原点，CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从而=（-1，0，1），=（0，1，0），（1，0，0），（0，-1，1）设平面ADE和平面ABE的法向量分别为（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）则-x1+z1=0，y1=0,x2=0，-y2+z2=0令z1=1，z2=-1，则（（1，0，1），=（0，-1，-1）设二面角D-AE-B的平面角为θ，则|cosθ|=|二面角D-AE-B为钝二面角．∴二面角D-AE-B是120°---------12分

略22.如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．（1）求证：AD∥OC；（2）若圆O的半径为2，求AD?