教学课件考研数学辅导无穷级数

教学课件考研数学辅导无穷级数第一页，共六十一页，2022年，8月28日一、常数项级数敛散性的判别★级数★主要内容二、幂级数的收敛特性与和函数的性质三、求收敛域与级数的和四、函数的幂级数展开五、傅里叶级数考研数学——级数互为逆过程，但是方法完全类似第二页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数第一部分主要知识回顾第三页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（1）、基本概念◆级数常数项级数级数的部分和第四页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（1）、基本概念（2）、基本性质◆绝对收敛与条件收敛结论:

级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.第五页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（2）、基本性质结论:

收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.第六页，共六十一页，2022年，8月28日性质5级数收敛的必要条件考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（2）、基本性质10.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；20.必要条件不充分。第七页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（3）、重要级数调和级数，发散交错级数，条件收敛第八页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别1、基本概念、性质与重要级数（3）、重要级数第九页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别2、级数敛散性的判别（1）、正项级数◆定义:这种级数称为正项级数.◆定理◆正项级数收敛的充要条件:部分和数列为单调增加数列.第十页，共六十一页，2022年，8月28日◆比较审敛法一般形式考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别2、级数敛散性的判别（1）、正项级数第十一页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、常数项级数敛散性的判别◆比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;2、级数敛散性的判别（1）、正项级数第十二页，共六十一页，2022年，8月28日一、常数项级数敛散性的判别2、级数敛散性的判别（1）、正项级数考研数学——级数第十三页，共六十一页，2022年，8月28日一、常数项级数敛散性的判别2、级数敛散性的判别（1）、正项级数考研数学——级数比值审敛法的优点:不必找参考级数第十四页，共六十一页，2022年，8月28日定义：正、负项相间的级数称为交错级数。一、常数项级数敛散性的判别2、级数敛散性的判别（2）、交错级数考研数学——级数第十五页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——多元函数微分学一、常数项级数敛散性的判别级数发散必要条件或或或或是否为几何级数是是否为p级数是否为正项级数是否为变号级数否用比较法、比值法、根值法判别否是否满足莱布尼兹定理用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性

为正项级数否当收敛；当发散是是方法是是是否收敛是当收敛；当发散绝对收敛是否为交错级数是是条件收敛否※流程图※第十六页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（1）、概念第十七页，共六十一页，2022年，8月28日注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.★和函数在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs称)(xs为函数项级数的和函数。考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（1）、概念★幂级数:第十八页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径几何说明收敛区域发散区域发散区域0第十九页，共六十一页，2022年，8月28日推论考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径推论中的正数R称为幂级数的收敛半径.第二十页，共六十一页，2022年，8月28日规定定义:

正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域为如下形式之一：考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日★.和函数的运算性质:考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变)第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日★.和函数的运算性质:考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变)第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数三、求收敛域与级数的和具体步骤如下：第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质对于缺项级数的收敛域通常有两种方法：A、换元法B、直接当做一般常数项级数来处理，通常使用正项级数的比值法、根值法，再利用阿贝尔定理判别出收敛半径。第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质注：对于某些幂级数，可以采用间接做法。第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数40第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.若函数的某邻域内具有任意阶导数,考研数学——级数四、函数的幂级数展开1、泰勒级数与麦克劳林级数第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日展开方法直接展开法间接展开法定理各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是设函数f(x)在点

x0的某一邻域内具有考研数学——级数四、函数的幂级数展开2、幂级数展开的条件3、函数展开成幂级数的展开方法—

利用泰勒公式—

利用已知其级数展开式的函数展开第三十页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数四、函数的幂级数展开3、函数展开成幂级数的展开方法间接展开法第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日常用函数的幂级数展开式如下：考研数学——级数四、函数的幂级数展开间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开式的函数.3、函数展开成幂级数的展开方法第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日当m=–1时常用函数的幂级数展开式如下：考研数学——级数四、函数的幂级数展开3、函数展开成幂级数的展开方法第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数五、傅里叶级数傅里叶级数傅里叶系数第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数五、傅里叶级数第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数第二部分考题选讲第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数一、级数敛散性的判别考题选讲第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日数一：2011、一(2)例1一、级数敛散性的判别考研数学——级数选C第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日数一：1998、八例2一、级数敛散性的判别考研数学——级数收敛第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日数三：2003、二(3)例3一、级数敛散性的判别考研数学——级数选B第四十页，共六十一页，2022年，8月28日数一：2004、二(9)例4一、级数敛散性的判别考研数学——级数选B第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日一、级数敛散性的判别考研数学——级数数三：2006、二(9)例5即：数一：2006、二(9)选D第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日数三：2004二(10)例6一、级数敛散性的判别考研数学——级数选D第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日数一：1995、二(4)例7一、级数敛散性的判别考研数学——级数选C第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日数一：1996、二(3)例8一、级数敛散性的判别考研数学——级数选C第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日数三：1996、二(2)例9一、级数敛散性的判别考研数学——级数选A第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数二、幂级数的收敛性与级数的和考题选讲第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数三：2009、二(11)例1【解析】设。所以，该幂级数的收敛半径为第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：1995、一(4)例2使用阿贝尔定理第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：2010、三(18)例3第五十页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：2008、二(11)例4第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：1996、五题例5法二：转化为相应的幂级数，先找到幂级数的和函数第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：2005、三(16)例6第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数一：2002、七题例7就是特解第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数三：1999、一(2)例8利用结论，再逐项求导。第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数三：2000、七题例9然后，利用结论，先逐项求导，再积分。首先计算定积分，得到第五十六页，共六十一页，2022年，8月28日二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学——级数数三：2003、六题例10【分析】

先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1；求出和函数后，再按通常方法求极值。第五十七页，共六十一页，2022年，8月28日考研数学——级数三、幂级数的展开考题选讲第五十八页，共六十一页，2022年，8月28日数三：2007、三(20)例1三、幂级数的展开考研数学