（广西课标版）2023版高考数学二轮复习专题能力训练14空间中的平行与垂直文

〔广西课标版〕2022版高考数学二轮复习专题能力训练14空间中的平行与垂直文PAGEPAGE28专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.如图,在以下四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,那么在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.那么以下说法正确的选项是()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心3.m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出以下命题:①假设α⊥β,m∥α,那么m⊥β;②假设m⊥α,n⊥β,且m⊥n,那么α⊥β;③假设m⊥β,m∥α,那么α⊥β;④假设m∥α,n∥β,且m∥n,那么α∥β.其中正确命题的序号是()A.①④ B.②③C.②④ D.①③4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,那么m,n所成角的正弦值为()A.32 B.C.33 D.5.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在外表上运动,并且总保持PE⊥AC,那么动点P的轨迹的周长为.

6.(2022全国Ⅰ,文16)∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么点P到平面ABC的距离为.

7.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.(1)求证:BF∥平面ADP;(2)O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.9.(2022全国Ⅲ,文19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.二、思维提升训练11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.12.如图,AB是圆O的直径,点C是AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.13.(2022广东佛山一中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱锥P-ABCD的体积VP(2)在线段PB上是否存在一点M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,请说明理由14.如图①,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F为A1C的中点,如图②.图①图②(1)求证:EF∥平面A1BD;(2)求证:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.

专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.A解析易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,那么AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,那么AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,那么AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.应选A.2.A解析如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,那么PO⊥EF,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O为△AEF的垂心.3.B解析当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m⊂β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;假设m∥α,n∥β,且m∥n,那么α∥β或α,β相交,④不正确.应选B.4.A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成角的正弦值为32(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为325.2+6解析如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为2+6.2解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=3,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=32∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=2.又PC=2,∴PO=4-7.证明(1)如图,取PD的中点G,连接FG,AG.∵F是CE的中点,∴FG是梯形CDPE的中位线.∵CD=3PE,∴FG=2PE,FG∥CD.∵CD∥AB,AB=2PE,∴AB∥FG,AB=FG,即四边形ABFG是平行四边形.∴BF∥AG.又BF⊄平面ADP,AG⊂平面ADP,∴BF∥平面ADP.(2)延长AO交CD于M,连接BM,FM,∵AB∥DC,AD⊥DC,∴BA⊥AD.又CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,∴四边形ABMD是正方形,∴BD⊥AM,MD=2PE,∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD,∴FM⊥BD.∵AM∩FM=M,∴BD⊥平面AMF,∴BD⊥平面AOF.8.(1)证明因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解在棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.9.(1)证明由得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.10.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=12BC∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=12BC∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.二、思维提升训练11.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图①知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26a3=3612.(1)证明∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)证明∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,∴AC⊥VO.∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=VA∵点C是AB的中点,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴△ABC的面积S△ABC=12AB·CO=12×2×1∴棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=13S△ABC·VO=13×1×3=3313.解(1)∵底面ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,AC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.在△PAC中,AC=2,∴PO=3.在△PBD中,PB=PD=6,BD=23.∴VP-ABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×(2)过C作CE∥BD交AB延长线于E,过E作EH∥BF交PA于H,EH与PB的交点为M.∵CE∥BD,BD⊂平面BDF,CE⊄平面BDF,∴CE∥平面BDF.∵EH∥BF,BF⊂平面BDF,EH⊄平面BDF,∴EH∥平面BDF.又CE∩EH=E,CE⊂平面CEM,EH⊂平面CEM,∴平面BDF∥平面CEM.∵CM⊂平面CEM,∴CM∥平面BDF.∵BD∥CE,DC∥BE,∴四边形BECD为平行四边形,∴DC=BE=AB,∴B为AE中点.∵AP=4AF,EH∥BF,∴H为PA的中点,∴M为中线PB与中线EH的交点,∴M是△APE的重心,∴BMBP14.(1)证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF.∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=12BC∵H,F分别为A1B,A1C的中点,∴HF∥BC,HF=12BC∴HF∥DE,HF=DE,∴四边形DEFH为平行四边形,∴EF∥HD.∵EF⊄平面A1BD,HD⊂平面A1BD,∴EF∥平面A1BD.(2)证明∵在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,∴AD=AE,∴A1D=A1E.