2023版高考数学大二轮复习7.1计数原理、二项式定理学案理

2020版高考数学大二轮复习7.1计数原理、二项式定理学案理PAGE22-第1讲计数原理、二项式定理eq\a\vs4\al\co1()考点1排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，那么要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过假设干步才能将规定的事件完成，那么要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同[例1](1)[2022·陕西西安模拟]把15人分成前、中、后三排，每排5人，那么不同的排法种数共有()A.eq\f(A\o\al(15,15),A\o\al(3,3))B．Aeq\o\al(5,15)Aeq\o\al(5,10)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)C．Aeq\o\al(15,15)D．Aeq\o\al(5,15)Aeq\o\al(5,10)(2)[2022·安徽合肥质检]某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择假设干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所种花卉颜色不能相同，那么不同种植方法的种数共有()A．96B．114C．168D．240【解析】(1)把位置从1到15标上号，问题就转化为15人站在15个位置上，共有Aeq\o\al(15,15)种情况．(2)先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，再在c中种植，假设c与b同色，那么d中有3种不同的种植方法，假设c与b不同色，那么c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，再在e中种植，有2种不同的种植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)．应选C.【答案】(1)C(2)C解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.『对接训练』1．[2022·河南十所名校尖子生联考]5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻且甲不站在两端的排法种数是()A．40B．36C．32D．24解析：由题可得，甲与乙相邻的排法种数为Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48，甲站在两端且与乙相邻的排法种数为Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12，所以甲与乙相邻且甲不站在两端的排法种数是48－12＝36.应选B.答案：B2．[2022·广东六校联考]从两个不同的红球、两个不同的黄球、两个不同的蓝球共六个球中任取两个，放入红、黄、蓝三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法共有()A．42种B．36种C．72种D．46种解析：分以下几种情况：①取出的两球同色时，有3种可能，取出的球只能放在与球的颜色不同的两个袋子中，有Aeq\o\al(2,2)种不同的放法，故不同的放法共有3Aeq\o\al(2,2)＝6(种)；②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种可能，由于球不同，所以取球的方法数为3Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12(种)，取球后将两球放入袋子中的方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)－3＝3(种)，所以不同的放法有12×3＝36(种)．综上可得不同的放法共有42种，应选A.答案：Aeq\a\vs4\al\co1()考点2二项式定理1．通项与二项式系数Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，其中Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．各二项式系数之和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝2n－1.[例2](1)[2022·全国卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24(2)[2022·浙江卷]在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x〞的乘积组成，那么x3的系数为Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12.(2)该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(eq\r(2))9＝16eq\r(2)；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：(1)A(2)16eq\r(2)5(1)利用二项式定理求解的两种常用思路①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程解决的．②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值.(2)[警示]在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；④对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．『对接训练』3．[2022·天津卷]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,8x3)))8的展开式中的常数项为______．解析：此题主要考查二项式定理的应用，考查的核心素养是数学运算．二项展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(2x)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8x3)))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))r·28－r·Ceq\o\al(r,8)x8－4r，令8－4r＝0可得r＝2，故常数项为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))2×26×Ceq\o\al(2,8)＝28.答案：284．[2022·浙江金华十校联考](x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，那么a3＝()A．64B．48C．－48D．－64解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，得a3·(x－1)3＝Ceq\o\al(1,4)·(x－1)3·2＋Ceq\o\al(5,8)·(x－1)3·(－1)5，∴a3＝8－Ceq\o\al(5,8)＝－48.应选C.答案：C课时作业17计数原理、二项式定理1．[2022·湘赣十四校联考]有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A．8B．15C．18D．30解析：由题意知此题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法．根据分类加法计数原理知共有3＋5＝8种选法，应选A.答案：A2．[2022·云南昆明一中检测]从一颗骰子的六个面中任意选取三个面，其中只有两个面相邻的不同的选法共有()A．20种B．16种C．12种D．8种解析：从一颗骰子的六个面中任意选取三个面共有Ceq\o\al(3,6)＝20种选法，其中有三个面彼此相邻的有8种，所以只有两个面相邻的不同的选法共有20－8＝12(种)．答案：C3．[2022·河北唐山期末]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的展开式中，x2的系数为()A.eq\f(15,4)B．－eq\f(15,4)C.eq\f(3,8)D．－eq\f(3,8)解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)))6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)22r－6x3－r，令r＝1，可得x2的系数为(－1)1×Ceq\o\al(1,6)×22×1－6＝－eq\f(3,8).应选D.答案：D4．[2022·海南三亚华侨学校期末]六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，那么不同的演讲次序共有()A．480种B．360种C．240种D．120种解析：解法一因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有Ceq\o\al(1,4)种情况，剩余的选手有Aeq\o\al(5,5)种情况，所以不同的演讲次序共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝480(种)，应选A.解法二六位选手全排列有Aeq\o\al(6,6)种演讲次序，其中选手甲第一个或最后一个演讲有2Aeq\o\al(5,5)种情况，故不同的演讲次序共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480(种)．应选A.答案：A5．[2022·河北保定期末](1－2x)5(2＋x)的展开式中，x3的系数是()A．－160B．－120C．40D．200解析：(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的系数是(1－2x)5的展开式中x3的系数的2倍与(1－2x)5的展开式中x2的系数的和，易知(1－2x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－2)rCeq\o\al(r,5)xr，令r＝3，得x3的系数为－8Ceq\o\al(3,5)＝－80，令r＝2，得x2的系数为4Ceq\o\al(2,5)＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3的系数是－80×2＋40＝－120.应选B.答案：B6．[2022·浙江七彩联盟联考]假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(x))))n的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，那么该展开式的常数项为()A．10B．－10C．5D．－5解析：由二项式系数之和为32，知2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r·25－rCeq\o\al(r,5)x.令10－eq\f(5,2)r＝0，可得r＝4，所以常数项为(－1)4×21×Ceq\o\al(4,5)＝10，应选A.答案：A7．[2022·广东广州调研]某电台做?一校一特色?访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期、C期各播出1所学校．现从8所候选学校中选出4所参与这三期节目的录制，不同的选法共有()A．140种B．420种C．840种D．1680种解析：由题易知，不同的选法共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)＝840(种)．应选C.答案：C8．[2022·河北定州模拟]将“福〞“禄〞“寿〞三个字填入如下图的4×4小方格中，每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同列，那么不同的填写方法有()A.288种B．144种C．576种D．96种解析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个字，有16种方法；(2)因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个字有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．应选C.答案：C9．[2022·海南三亚华侨学校期末]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式中，x的指数是整数的项数是()A．2B．3C．4D．5解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,24)(eq\r(x))24－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,24)x，∴当r＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项，应选D.答案：D10．[2022·第一次全国大联考]假设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的展开式中第m项为常数项，那么m，n应满足()A．2n＝3(m－1)B．2n＝3mC．2n＝(3m＋1)D．2n＝m解析：由题意得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,n)x，当n＝eq\f(3,2)r，即2n＝3r时，为常数项，此时r＝m－1，所以m，n应满足2n＝3(m－1)，应选A.答案：A11．[2022·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)种B．Aeq\o\al(20,20)种C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)种D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相邻，有Aeq\o\al(2,2)种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有Aeq\o\al(18,18)种站法．根据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种不同的站法，应选D.答案：D12．[2022·辽宁营口模拟](1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第eq\f(n,2)＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项解析：在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，第r＋1项的系数与第r＋1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n＋1项，可得第n＋1项的系数最大，应选C.答案：C13．[2022·陕西西安质检]如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数〞，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数〞共有________个．解析：当相同的数字不是1时，有Ceq\o\al(1,3)个“好数〞；当相同的数字是1时，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)个“好数〞，由分类加法计数原理知共有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝12个“好数〞．答案：1214．[2022·江西南昌重点中学段考](x－y＋2)6的展开式中y4的系数为________．解析：解法一因为(x－y＋2)6＝[(x＋2)－y]6，所以展开式中含y4的项为Ceq\o\al(4,6)(x＋2)2y4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展开式中y4的系数为60.解法二由于(x－y＋2)6的展开式中y4项不含x，所以(x－y＋2)6的展开式中y4项就是(2－y)6的展开式中的y4项，所以Ceq\o\al(4,6)×22(－y)4＝60y4，所以(x－y＋2)6的展开式中y4的系数为60.答案：6015．[2022·安徽示范高中高三测试]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：解法一从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)，3张卡片颜色相同的不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)＝472.解法二假设取出的3张卡片中没有红色卡片，那么需从黄