2008年考研数学一真题及答案

2008年考研数学一真题个选项中，只有一个选项是切合题目要求的。）(1)设函数,则(A)0(C)2(B)1(D)3【答案】B。【分析】且，则是点综上所述，此题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数(A)在点(B)(D)(C)【答案】。【分析】优选文库所以综上所述，此题正确答案是。【考点】高等数学—多元函数微分学—方导游数和梯度(3)在以下微分方程中，以为通解的是(A)(C)(B)(D)【答案】D。【分析】由通解表达式可知其特点根为可见其对应特点方程为故对应微分方程为综上所述，此题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程--2优选文库(4)设函数在的是内单一有界，(A)若收敛，则(B)若单一，则(C)若若收敛，则单一，则【答案】B。【分析】【方法一】因为单一，单一有界，则数列调有界准则知数列【方法二】收敛。清除法：若取,,则明显不收敛，清除。收敛，但，明显若取,明显收敛且单一，但敛，清除C和D。综上所述，此题正确答案是B。--3优选文库【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单一性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单一有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)(B)(C)(D)可逆，【答案】C。【分析】因为所以可知可逆，综上所述，此题正确答案是C。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的观点和性质，矩阵可逆的充足必需条件(6)设3为--4优选文库(A)(B)1(D)3(C)2【答案】B。【分析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为可知的正特点值的个数为1综上所述，此题正确答案是B。【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(7)设随机变量独立同散布，且的散布函数为,则的散布函数为(A)(C)(B)(D)--5优选文库【答案】。【分析】综上所述，此题正确答案是。(8)设随机变量,且有关系数,则(A)(C)(B)(D)【答案】D。【分析】由有关系数的性质可知：假如可得则必有已知又,所以,得--6优选文库而所以即综上所述，此题正确答案是。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特点—随机变量函数的数学希望二、填空题（914小题，每题4(9)微分方程知足条件的解是。【答案】。【分析】分别变量得,l两边积分有利用条件，，解得综上所述，此题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—变量可分别的微分方程--7优选文库(10)曲线在点处的切线方程是。【答案】【分析】先求曲线在点处的斜率等式两头对在上式中，将代入可得所以曲线在该点处的切线方程为综上所述，此题正确答案是即。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义(11)已知幂级数在处收敛，在则幂级数的收敛域为。【答案】。【分析】由题设可知，幂级数在处收敛，在处--8优选文库发散,即关于幂级数又幂级数在处收敛，在收敛域为。。所以关于幂级数综上所述，此题正确答案是【考点】高等数学—无量级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间指开区间)和收敛域(12)设曲面是。【答案】。【分析】补曲面,取下侧，记则--9优选文库综上所述，此题正确答案是。(13)设为2阶矩阵，为线性没关的2维列向量，，，则的非零特点值为。【答案】1。【分析】【方法一】定义法：由可得矩阵的特点值为，所以的非零特点值为。【方法二】--10优选文库矩阵相像：可知，的特点值易得为，所以可得矩阵的特征值为，所以的非零特点值为。综上所述，此题正确答案是。【考点】线性代数—矩阵的特点值和特点向量—矩阵的特点值和特点向量的观点、性质，相像变换、相像矩阵的观点及性质(14)设随机变量听从参数为1的泊松散布，则。【答案】【分析】由已知，有所以,所以综上所述，此题正确答案是。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特点—一维随机变量及函数的数字特点三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过--11优选文库程或演算步骤。(15)（此题满分9分）求极限【分析】【方法一】（等价无量小代（洛必达法例）换）（）(等价无量小代换)【方法二】（等价无量小代换）（变量代换）（洛必达法例）--12优选文库（等价无量小代换）【方法三】由泰勒公式,可得则，上式【方法四】（拉格朗日中值定理）【方法五】因为当时,,则--13优选文库所以【考点】高等数学—函数、极限、连续—无量小量的性质及无量小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法例(16)（此题满分9分）计算曲线积分,此中是曲线上从点到点【分析】【方法一】【方法二】增添轴上从点地区，则到点的直线段，为与--14优选文库【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的观点、性质及计算，格林(Green)公式(17)（此题满分11分）已知曲线求曲线距点。【分析】设为曲线上随意一点，则点到面的距离为原题化为求在条件点，结构拉格朗日函数--15优选文库解方程组得，进而得可能极值点：有依据几何意义，曲线上存在距面最远和近来的点，故所求点挨次为。【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值(18)（此题满分10分）设函数(I)利用定义证明函数可导，且；(II)当2也是以2为周期的周期函数。【分析】(I)关于随意的,因为函数--16优选文库（积分中值定理）此中介于和又,可知(II)【方法一】关于随意的，有所以，进而有（常数）--17优选文库又则，，即2数。【方法二】关于随意的则故也是以2为周期的周期函数。【方法三】关于随意的--18优选文库因为以2为周期，则所以故也是以2为周期的周期函数。【方法四】关于随意的，有则故也是以2为周期的周期函数。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单一性、周期性和奇偶性高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数--19优选文库将函数睁开成余弦级数，并求因为是偶函数，于是,对有所以令,故【考点】高等数学—无量级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在上的正弦级数和余弦级数(20)（此题满分10分）--20优选文库设为3维列向量，矩阵,此中的转置。证明：(I)秩；。(I)因为为3维列向量，所以3且秩那么(II)线性有关，则设于是，【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(21)（此题满分12分）设元线性方程组--21优选文库；(II)当为什么值时，该方程组有独一解，并求；(III)当为什么值时，该方程组有无量多解，并求通解。【分析】(I)数学概括法：记阶队列式当时,命题当时，设时，命题,命题正确当时，按第一列睁开，则有--22优选文库命题正确，所以。(II)由克拉默法例，方程组有独一解，故独一解，且用克拉默法例，有(III)当由,方程组有无量多解，其通解为,此中为随意常数。(22)（此题满分11分）设二维随机变量互相独立，的概率密度为，记。Ⅰ求；--23优选文库Ⅱ求概率密度