含2套高考模拟题高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1定积分和微积分要点讲解

定积分和微积分要点讲解

一、定积分的概念

教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数

/(x)在区间上是连续的，用分点。=拓＜不＜＜＜为＜将区间

［a,句等分成〃个小区间，在每个小区间引上任取一点&(》=12，〃)，作和式

当〃―8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做

i=l/=1〃

函数/(x)在区间［a,0上的定积分，记作J,"(x)dk,即，〃办拄=也fjy•(0.

/=1〃

对这个概念我们应从如下几个方面进行理解

1.对区间分割的绝对任意性：在定义中我们将区间以进行等分是为了计算

上的方便，实际上对区间［a,句的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长

度趋向于零即可.

2.在每个小区间民_”七］上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方

便将点取小区间七］的端点，实际上我们可以在区间民_］,玉］上任意取点，如取中点等.

3.当n一8时，和式Z./■(幻幻无限接近某个常数的唯一确定

/=1i=ln

性.它不依赖于对区间［a,0的分割方法，也不依赖于在每个小区间上取点的方

式.即［/(1粒是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常

数.同时它也与积分变量无关,即=

4.数学思想上的划时代意义.产生定积分概念的"以直代曲"”以匀速代变速"和"

无限逼近"的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上

具有重大意义.我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分

的真正目的.例如在求曲边梯形的面积的课本例1中，我们把区间［0,1］等分成〃个小区间，

在每个小区间上“以直代曲”就将曲边问题转化为直边问题，随着〃的增大这些小区间的宽

度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以

以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当〃-8时这些小直边形就几乎变

成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直

边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了.我们常说"线动成面"，对课本例1,我们也

可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边

形的就完全重合了，而将这些线段从0至打运动就形成了/(x)=x2,X=l,X轴所围成

的曲边形，将这些线段的“面积"积累起来就是所求的曲边形的面积.

二、微积分基本定理的应用

作变速直线运动的物体如果其运动方程是S(r),那么该物体在时间区间口力］内通过的

路程是S(。)-S(a),另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为

S«)=s«),我们把该物体运动的时间区间［a,々无限细分，在每个小时间段上，将其速

度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程

加起来，就是该物体在时间区间［a,以上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是

£5由此可知(。力=J：s(fM=S®—S(a).一般地有如下结论：如果f(x)

是［a,句上的连续函数，并且有f'(x)=/(x),则(/(今人=/伍)一尸(。).这就是微

积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定

理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明

它在计算定积分上的应用.

例1计算定积分e-'M*

xx

分析：(/)=",［e-)=-e-,故卜'+07)=/-0-工.

解：工("-)dx=1(e，+1)公=［e*+e-［|=e+；-2.

点评：关键是找*x),使/(x)="—er,可以通过求导运算求探求.

例2计算定积分J：(cossin：)公.

分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求.由于

2

XX2•2^•"r"'i

cos——sin—=cos——2cos—sin—4-sin~—=l-sinx,而x=l,

222222

2

X.X

(cosx)'=—sinx,故(x+cosx)'=l-sinx=cos——sm—

22

解:

.乃x.x\.nn71

x2

cos——sin—dx-=+=[x+cosx]0

22)

4-

点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解.

掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的.①\bxmdx=-xm+'b

Jam+la

fZ?1I,/?b

(me(2，m1),②f-dx=\n\x\,③]exdx=ex⑤

Jay11/7J"H

rb0sbU

cosxdx=sinx,®sinx<it:=(-cosx).例如

J。a兀a

例3计算定积分工(2'—

分析：先展开再利用上面的定积分公式.

解：|"(2'-3')2«[x=|"(4'-2-6'+9')^^f—-2--+—>ll1

J。''J。')(ln4In6ln9J|0

3108

------------------1-------.

In4In6In9

点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本.

从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题

中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易

的作用.

三、定积分的三条性质

根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质

性质1.常数因子可提到积分号前，即：^kf(x)dx^k^f(x)dx(%为常数)；

性质2.代数和的积分等于积分的代数和:

即：f[〃x)±g(力卜=f"x以士fg(x即

性质3.(定积分的可加性)如果积分区间々被点c分成两个小区间[a,c]与上,0,

则：Jf(X)<ZY=jf{x}dx+J'7f(x)dro

这三条性质为我们计算定积分带来了很大的方便，下面举例说明.

例4计算定积分「(3x+'一)仪.

x+1厂

「(3x+工13X0C+1—匕公，再根据性质

分析：根据定积分的性质2知道

8x+1)J。Jox+1

1「13x+/-lx=「3xdc+■必=31xc拄+4］一』，下面只需根据微积分基

Jo(x+lJJoJox+1J。Jox+1

本定理计算即可.

解析:

[|3XH----VY=[3x6^+[----<1¥=3(JOZX+4f——dx

x+l；J。Jox+1J。JOJC+1

2Q

=3~|o+4-ln(x+l)|o=-+41n2

点评：微积分基本定理结合定积分的性质是我们计算定积分的主要方法.

例5计算定积分Jjsin2xdc.

分析：利用微积分基本定理计算的话，我们就要找到一个函数，使其导数等于sin?x,

这个函数不好找，为此我们对被积函数进行变形sin2%=匕8四，而

2

(sin2x)'=2cos2x,即(色啜)=cos2x,再根据定积分的性质和微积分基本定理加以

解决.

解析:

[2sin2xdx=PX~C°s2xdx=-

2\dx--2cos2xdx

JoJo22*2

1sin2xg

——•------------/

点评：在计算三角函数的定积分时，进行恰当的三角恒等变换往往能起到意想不到的作

例6计算定积分工,2_依.

分析：由于在［0,1］上,2—4=1一%2,而在［1,2］上卜2T=工2一］,我们不能直接在

［0,2］上计算该定积分，为此我们可以用定积分的性质3和性质2结合微积分基本定理进行

计算.

解析：

£|x2-=J。,—l|dr+j-IpA*=£(1-x2)dx+j］(x2—1)Jr

=fIdx-fx2dx+［x2dx-［\dx-1-----1---------1=2

JoJoJiJi33

点评：含有绝对值的函数实际上是分段函数，我们可以根据积分区间的可加性，将其转

化为各段上的定积分再进行计算.

从上面不难看出，合理地使用定积分的三条性质，再结合微积分基本定理就能使我们

在进行定积分计算时得心应手，如鱼得水，使看似复杂的定积分计算变得简单起来.

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线y2=2px（p>0）上的点M到其焦点厂的距离比点M到J轴的距离大g,

则抛物线的标准方程为（）

A.y1=xB.y2=2xC.y2-4xD.y2=8x

2.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同

一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称

统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2“的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率

为P,则圆周率万、（）

A.4p+2B.4/7+1

C.6-4pD.4〃+3

3.若圆锥轴截面面积为2g，母线与底面所成角为60。，则体积为（）

A6R底「2百N2A/6

3333

4.在ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°,点£>,E分别在线段AB,CO上，

且3O=2AO,CE=2ED,则（）.

A.-3B.-6C.4D.9

5

5.已知。nlog.Q,b=0.4°，c=Iog25,贝!ja,b,c的大小关系为（）

A.c>h>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.若命题二从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;

命题二在边长为4的正方形二二二二内任取一点二，则二二二二>90：的概率为？，则下列命

题是真命题的是（）

A.ZAZB.（Y）A二C.ZA（->Z）D.「二

7.已知数列{%}是以1为首项，2为公差的等差数列，{2}是以1为首项，2为公比的等

比数列，设%=%,4=4+。2++%（〃€1<）,则当7；,<2020时，”的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积等于（）cm3

/2万/3万

C.6H------D.6+—

32

9.已知集合A={x[l<xW24},B=<^x|j=.——\,则()

_y]-x2+6x-5

A.{x|x>5}B.{x|5<x<24}

C.{x|xWl或xN5}D.{x|5<x<24}

10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次

序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

11.已知i为虚数单位，若复数2=翼+1,贝（lz=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

12.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,。,c,若atan5=2bsin(B+C).则角8

的大小为()

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

3624

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x+1)4的展开式中f的系数为.

14.已知过点。的直线与函数)，=3”的图象交于A、8两点，点A在线段。8上，过4作

),轴的平行线交函数y=9'的图象于。点，当BC〃x轴，点A的横坐标是

22

15.已知椭圆。：=1+J=i(a>b>0)的左右焦点分别为［、月，过居(1,0)且斜

ab

率为1的直线交椭圆于A3,若三角形的面积等于岳2,则该椭圆的离心率为

1

16.已知(l+2x)”=4+4》+02彳2++“ox"+41刀”，贝!|0一加2+-10tzlo+1la,,=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，在四棱锥P—A6C。中，底面ABCO是矩形，M是PA的中点，平面

ABCD,且PD=CD=4,AD=2.

(1)求AP与平面GW8所成角的正弦.

(2)求二面角M—C8—P的余弦值.

18.A4BC的内角A,3,C所对的边分别是"c,且Z?=3(acos8+0cosA),h+c-8.

(1)求力,c；

7

(2)若BC边上的中线AO=—，求AA8C的面积.

2

19.（6分）已知两数/（x）=lnx+日.

（1）当％=—1时，求函数/（x）的极值点；

（2）当女=0时，若/（幻+夕―&.0（〃力€/?）恒成立，求/T—6+1的最大值.

X

20.（6分）已知某种细菌的适宜生长温度为129~27℃,为了研究该种细菌的繁殖数量旷

（单位：个）随温度X（单位：C）变化的规律，收集数据如下：

温度x/'C14161820222426

繁殖数量y/个2530385066120218

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示:

77o7

XykEDZ（苍-可化-左）

i=l1=1i=l/=1

20784.11123.8159020.5

_J7

其中&=lny”&=弓£用.

•Z=1

（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断丁=加+。与丁=。/'哪一个更适合作

为该种细菌的繁殖数量）,关于温度X的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于T的回归方程（结果精确到0.D；

（3）当温度为27'C时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？

参考公式：对于一组数据（%,匕）«=1,2,3,・二〃），其回归直线u="a+。的斜率和截距的

）（v,.-v）

最小二成估计分别为夕=『-------------，a=v-pu,参考数据：Z5«245.

:（“ip

1=1

22

21.（6分）如图，设椭圆G：[+5=1（。＞。〉0）,长轴的右端点与抛物线C,：y2=8x

ah

的焦点尸重合，且椭圆G的离心率是立.

（I）求椭圆c,的标准方程；

（II）过/作直线/交抛物线G于A，8两点，过F且与直线/垂直的直线交椭圆c于另

一点C，求A48c面积的最小值，以及取到最小值时直线/的方程.

,、,、（\]凡，〃为奇数

22.（8分）已知数列见，〃，数列c“满足c"=",neN*.

bn,〃为偶数

（1）若4=〃，2=2",求数列卜“｝的前2n项和&；

（2）若数列｛a,,｝为等差数列，且对任意neN*，c向＞c“恒成立.

①当数列｛2｝为等差数列时，求证：数列｛见｝,｛〃｝的公差相等；

②数列出｝能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列也｝;若不能，请说明理

由.

23.（8分）已知函数f（x）=e,x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点

和一个极小值点.

（1）求实数k的取值范围；

（2）证明:f（x）的极大值不小于1.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6()分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

【分析】

由抛物线的定义转化，列出方程求出p,即可得到抛物线方程.

【详解】

由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大;，根据抛

物线的定义可得5=g,=所以抛物线的标准方程为：y2=2x.

故选B.

【点睛】

本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题.

2.A

【解析】

【分析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.

【详解】

,5阳乃"-2。-7t—2

由〃=」•=-----；——=-----,%=4p+2.

S正54

故选：A

【点睛】

本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.

3.D

【解析】

【分析】

设圆锥底面圆的半径为r,由轴截面面积为2G可得半径广，再利用圆锥体积公式计算即

可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为广，由已知，|x2rxV3r=2V3,解得r=也,

所以圆锥的体积^=!万，x&r=巫兀.

33

故选：D

【点睛】

本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.

4.B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

3E•=(3£>+DE)•AB=BD•AB+OE•43=瓦>•可得结果.

【详解】

根据题意，AB=3,BD=2AD,则AD=1

在ADC中，又AC=2,N8AC=60。

则DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

则。C=G

则CD1AB

则BEAB=(8D+OE)AB=3£>AB+DEAB=3£>AB=3x2xcosl80=-6

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

5.D

【解析】

【分析】

与中间值1比较，a。可用换底公式化为同底数对数，再比较大小.

【详解】

11

5

0.4°<1»log35>1,又0（log，2<logs3,即log25>log.35,

：.c>a>b.

故选：D.

【点睛】

本题考查卷和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数嘉比较，或化为同底数对

数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0,1等比较.

6.B

【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为二/=±=j

口，V

即命题二是错误，则「二是正确的;在边长为4的正方形二二二二内任取一点二，若二二二二>90：

的概率为二；=三二==，即命题二是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案

（-二）A二是正确的，应选答案B。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）

的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典

概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运

用，以及分析问题解决问题的能力。

7.B

【解析】

【分析】

根据题意计算凡=2〃-1,b“=2,7；=2"|-"一2,解不等式得到答案.

【详解】

•••｛%｝是以1为首项，2为公差的等差数列，.•.凡=2〃-1.

•••也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，:电=犷.

・，♦Tn=C[+j+•,♦+Cn=c%++,,•+&=4+2+%+•••+4

=(2x1-1)+(2x2-1)+(2x4-1)+•••+(2x2,,_|-1)=2(l+2+4+---+2,,-1)-/?

i_

2x^^-n^2"+'-n-2.

1-2

•••7；<2020,...2同一〃一2<2020,解得〃49.则当7；<2020时，〃的最大值是9.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

8.D

【解析】

解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,

结合图中数据，计算它的体积为：

V=V三梭柱+V半网柱=/x2x2xl+；・7T・12xl=(6+1.5TT)cm1.

故答案为6+1.5兀.

点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算

它的体积即可.

9.D

【解析】

【分析】

首先求出集合8,再根据补集的定义计算可得;

【详解】

M：V—%2+6x-5>0>解得l<x<5

5={x|1<x<5},/.dAB={x15<x<24}.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

10.A

【解析】

【分析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到

低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则

甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确,

不符合题意，故选A.

【点睛】

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、

逻辑推理能力的考查.

11.B

【解析】

【分析】

【详解】

l+2i(l+2i)(2+i)।[2+i+4i+2i2

因为z=+1=+l=l+i,所以£=1一i，故选B.

2-i(2-i)(2+i)5

12.A

【解析】

【分析】

由正弦定理化简已知等式可得sinAtan6=2sin6sinA,结合sinA>0,可得tanB=2sin8,

结合范围Be(O,〃)，可得sinB>0,可得cosB=g,即可得解8的值.

【详解】

解：,:6ttanB=2Z?sin(+C)=2Z?sinA,

:,由正弦定理可得：sinAtanB=2sin5sirt4,

VsinA>0,

tanB=2sinB,

V5G（O,^-）,sinB>0,

:.cosB=—,

2

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6

【解析】

【分析】

在二项展开式的通项中令x的指数为2,求出参数值，然后代入通项可得出结果.

【详解】

（X+1）4的展开式的通项为Tr+l=C：•,令4一尸=2nr=2,

因此，（x+1），的展开式中X?的系数为盘=6.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，

属于基础题.

14.log32

【解析】

【分析】

通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过BC〃、轴，可得B点坐标，于是再利用kOA=kOB

可得答案.

【详解】

根据题意，可设点A（a,3"）,则C（n,9"）,由于轴，故丫0=%=9"，代入y=3"，

可得4=2a,即B（2a,9"）,由于A在线段。8上，故%=G，即二=二，解得

a2a

a=log32・

15.V3-1

【解析】

【分析】

由题得直线AB的方程为X=y+l,代入椭圆方程得：（/+b2）y2+2b2y+b2-a2h2=0,

设点A（%，x）,3（七,必），则有x+y,=J空，乂%=纪/，由

cr+b-a+/7~

5她那=3怩巴冈），「必|=回2’且小一y=1解出。，进而求解出离心率.

【详解】

由题知，直线AB的方程为》=丁+1,代入=1消》得:

部+F

(/+〃)y2+2b2y-^b2-a2b2=0,

设点A（玉，yj,8（七,必），则有%:?

a+b~

।,「------------\(-2b2Y.b2-a2b22ab\l(r+b2-1

小「加加+%)-4.=心彳%|…

而SA?"=gX忻g|x|X一%|=gX2x2叱;+%_1=岳2,又/一〃=1,

解得：。=正±1,所以离心率‘二1=G+i=8一1

2~r

故答案为：V3-1

【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的

运算求解能力

16.22

【解析】

【分析】

对原方程两边求导，然后令x=T求得表达式的值.

【详解】

对等式(l+2x)":4+4d+//+两边求导，得

910

22(l+2x)i°=。|+2々％++10al0x+llallx,令x=—l,贝!]

q—2%+-10O!|Q+Ila”=22.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17.(1)y.

(2)迎

10

【解析】

分析：(1)直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量

的夹角公式求解即可；(2)先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

(1)•.,ABC。是矩形,

AADLCD,

又•:平面ABC。,

PDLAD,PDLCD,HPPD,AD,CO两两垂直，

，以。为原点，DA,DC,OP分别为“轴，)，轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由PO=CO=4,40=2,得4(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),0(0,0,0),尸(0,0,4),

则AP=(—2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

设平面。WB的一个法向量为勺=(百，y,zj,

BCriy=0—2x.=0

即《,令X=1,得％=0,4=2,

MB=0Xj+4yl-24=0

An,=(0,1,2),

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为y.

(2)由(1)可得PC=((),4,-4),

设平面的一个法向量为叼=(X2，%，Z2)，

\BC-n,=0-2X=0人，，八,

则■八，即《“2,八，令%=1，得为=0，Z2=1,

PC-H2=0[4y2-4Z2=0

:.n2=(0,1,1),

./\33加

故二面角M-CB-P的余弦值为主叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公

式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

18.(1)b=6,c=2(2)S

4

【解析】

【分析】

(1)先由正弦定理，得至Usin8=3sinC,进而可得b=3c,再由b+c=8,即可得出结果;

(2)先由余弦定理得c2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB,

b2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC＞再根据题中数据，可得片=31,从而可求出

cosZBAC,得到sinNBAC,进而可求出结果.

【详解】

(1)由正弦定理得sinB=3(sinAcos3+sinBtosA),

所以sinB=3sin(A+3),

因为A+5+C=%,所以sin(A+B)=sin(乃一C)=sinC,

即sinB=3sinC,所以b=3c,

又因为b+c=8,所以b=6,c=2.

(2)在A4BO和A4C。中，由余弦定理得

c2=AD2+BDr-2AD-BD-cosZADB，b2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC.

因为6=6,c=2,BD=DC=~,AD=~,

22

又因为/ADB+乙ADC-7i,即cosNAQB=-cosZADC,

所以储=31，

所以cosNBAC=,

2bc8

又因为NBAC«O,i),所以sin/84C=Yp.

所以ABC的面积S"c=gz?csinN84C=3^5.

【点睛】

本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.

19.(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1

【解析】

【分析】

(1)求出导函数，求得/'(x)=。的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；

bb

(2)问题可变形为&lnx+一恒成立，由导数求出函数y=lnx+—的最小值，640时,

xx

y=lnx+?无最小值，因此只有6>0,从而得出的不等关系，得出所求最大值.

x

【详解】

解：(1)/'(幻定义域为(0,+8),当左=一1时，

/(x)=\nx-x,f\x)=--1,

x

令/«)=0得j=l,当/'(x)>0,0<x<l;/'(x)<0,x>l

所以/(X)在(0/)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以fM有唯一的极大值点x=1,无极小值点.

hb

(2)当k=0时，/(%)+——〃=lnx+——a.

xx

bh

若/(x)H---a.0,(a,bwR)怛成立,JUljInx4----a..()(〃,/?£R)恒成立，

xx

h

所以4,Inxd—恒成立，

x

令y=lnx+2,则了=又，由题意力>0,函数在(08)上单调递减，在("+8)上单

XX

调递增，

所以a,,InA+l,所以a-L,Inb

所以e"T,,人，

所以e"T—6+L,1，

故e"T-0+l的最大值为1.

【点睛】

本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题.在求极值时，由/'(幻=0确定的七

不一定是极值点，还需满足在匕两侧/‘(X)的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数

的最值，这里分离参数法起关键作用.

20.(1)作图见解析；y=ce&更适合(2)y=e°Le°2,(3)预报值为245

【解析】

【分析】

(1)由散点图即可得到答案；

7

(2)把丁=6*'两边取自然对数，得lny=iZr+lnc,由“‘」'—'一―i计算得

I

到，再将G,E)代入Iny=公+Inc可得Inc,最终求得lny=0.2x+0.1,即y=e°」•e02x；

(3)将x=27代入y=e°Le°&中计算即可.

【详解】

解：(1)绘出)'关于龙的散点图，如图所示：

由散点图可知，y=ce4更适合作为该种细菌的繁殖数量关于x的回归方程类型；

(2)把丁=。/'两边取自然对数，得lny=Mr+lnc,

即女=dx+Inc,

7_

ZU-可化-7)205

由d=3---------3----=—«0.183«0.2

■T112

lnc=4.1-0.2x20®0.1.

A\ny=0.2x4-0.1,

则y关于X的回归方程为y=e°Le0-2x；

(3)当x=27时，计算可得丫=//25-4=eS5a245；

即温度为270c时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.

【点睛】

本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道

中档题.

21.(I):+y2=i；(II)A4BC面积的最小值为9,x=±岑y+2.

【解析】

【分析】

(I)由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a,再由离心率可求得c,从而得人值,

得标准方程；

(II)设直线/方程为％=冲+2,设4(西,乂),倒工2，%)，把直线方程代入抛物线方程，

化为y的一元二次方程，由韦达定理得,+必,乂％，由弦长公式得|AB|,同理求得。点

的横坐标，于是可得|EC将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.

【详解】

22

(I)•••椭圆G：=+二=1(。>>>0),

cC

长轴的右端点与抛物线G：V=8x的焦点尸重合，

:•a=2,

又•.•椭圆G的离心率是立，.•<,=百，b=l,

2

椭圆G的标准方程为5+V=1.

(II)过点尸(2,0)的直线/的方程设为*=冲+2,设4(石,％),3(^,%)，

x=my+2

联立《得y2—8my—l6=0f

y2=Sx

•••y1+%=8〃2,y%=T6,

•••\AB\=,1+加2J(K+%)2—4yly2=8(l+m2).

过F且与直线/垂直的直线设为y=-m(x-2),

y=-7n(x-2)

联立%2,得(l+4"/)x2-16m2%+i6机2-4=。,

：——FV2=1

4.

.c16M2(4m2-l)

..%+2=,，，，故％—L,

1+4m4m~+1

2

|CF|=\/14-m\xc-xF|=2---Jl+/,

”面积s.网什鲁35.

AI----7(j../、16尸尸(八_16(4〃一9产)

令后版="则s=〃f)=7rr八)=(4产-3y

9Q

令=则/=1,即1+团2=^时，AA8C面积最小,

即当m=±吏_时，AA8C面积的最小值为9,

2

此时直线1的方程为x=±且y+2.

2

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求

函数的最值问题，属综合困难题.

22.(1)&=%-+〃2_±(2)①见解析②数列他,｝不能为等比数列，见解析

【解析】

【分析】

(1)根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的

方法进行求解；

(2)①设数列｛%｝的公差为“，数列他,｝的公差为4,当n为奇数时，得出［Nd；当

n为偶数时，得出从而可证数列｛4｝,｛勿｝的公差相等；

②利用反证法，先假设也｝可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列也｝不能

为等比数列.

【详解】

(1)因为4=〃，4=2",所以=2,~^=4且q=q=l,c2=b2=4

由题意可知，数列卜2,一｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列｛。2“｝是首项和公比均为4的等比数列，

店"n(n-l)c4(1—4")4n+,4

所以7；“=〃+=-------x2+--------——+〃2一2一；

2"21-433

(2)①证明：设数列｛《,｝的公差为d,数列加“｝的公差为4，

当n为奇数时，cn=an=q+("—l)d,c„+1=b,+i=bi+ndi

ci,—d—bi

若d]〈d,则当〃〉一;—^时，c-c=(d-d)n+d-a<0,

U1-n+｛n1A

即q用vq,与题意不符，所以4Nd,

当n为偶数时，。〃=2=4+(〃-1)4，cn+]=aH+]=ci]+nd,

若d[>d,则当"〉一丁尸时,4吐1一%=("—4)〃+4+4一4<0,

a-a、

即％+I<c”，与题意不符，所以4<d，

综上，4=4,原命题得证；

②假设也｝可以为等比数列，设公比为q,