正弦定理课程学习

一、创设情境1、问题的给出：2、实际问题转化为数学问题：

如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测出BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a,B，C的值，能否算出AB的长。A.B..CaA.B..Ca已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形第1页/共29页第一页，共30页。ACBcba想一想?问题

（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？（1）你有何结论?二、定理的猜想第2页/共29页第二页，共30页。(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到

正弦定理证明一BACabcE第3页/共29页第三页，共30页。(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?BACbca

正弦定理证明一D如图:作AB上的高是CD,得到第4页/共29页第四页，共30页。（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.正弦定理:（2）说明1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角第5页/共29页第五页，共30页。如图：若测得a＝48.1m，B＝45°

，

C＝60°，求AB。解：A＝180°－（45°＋60°）＝75°aABsinAsinC=A.B..Ca在ABC中，由正弦定理得：a·sinCsinA∴AB=48.1·sin60°sin75°=≈43.1(m)

正弦定理的应用第6页/共29页第六页，共30页。∵正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角第7页/共29页第七页，共30页。点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,

此时的解是唯一的.课堂练习:第8页/共29页第八页，共30页。第9页/共29页第九页，共30页。第10页/共29页第十页，共30页。第11页/共29页第十一页，共30页。例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，求B和c。变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）第12页/共29页第十二页，共30页。点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.课堂练习:第13页/共29页第十三页，共30页。第14页/共29页第十四页，共30页。第15页/共29页第十五页，共30页。定理应用

课时小结二个

——

已知两角和一边（只有一解）

已知两边和其中一边的对角

（有一解，两解，无解）

一个

——正弦定理CcBbAasinsinsin==第16页/共29页第十六页，共30页。作业:思考题:第17页/共29页第十七页，共30页。谢谢！第18页/共29页第十八页，共30页。°······在例2中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？

60°ABCb（3）b＝20，A＝60°，a＝15.（1）b＝20，A＝60°，a＝;（2）b＝20，A＝60°，a＝;

第19页/共29页第十九页，共30页。（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°20AC（1）b＝20，A＝60°，a＝;60°20√3A20BC（2）b＝20，A＝60°，a＝;

BC60°A20一解一解无解第20页/共29页第二十页，共30页。a<bsinAa=bsinAbsinA<a<bababa>b无解一解两解一解无解一解AC条件图形解的个数总结ACBBCAACDB2B1CADABCD第21页/共29页第二十一页，共30页。练习注意：大边对大角第22页/共29页第二十二页，共30页。(三)边角互化，判断三角形形状:第23页/共29页第二十三页，共30页。第24页/共29页第二十四页，共30页。练习2、在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、或或练习1、在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::1自我提高！A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰直角三角形D、不能确定CCB第25页/共29页第二十五页，共30页。（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.正弦定理:（2）说明1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角3、R为三角形ABC外接圆的半径第26页/共29页第二十六页，共30页。第27页/共29页第二十七页，共30页。小结：

已知两边和其中一边对角,三角形解的情况（见图示）

CCCCABAAABBbabbbaaaa(1)a<bsinA时，无解(2)a=bsinA时，一解(3)bsinA<a<b时，两解(4)a≥b时，一解ACBb(1)a≤b时，无解(2)a>b时，一解a作角，比较边与高的大小关系！第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的观看。第29页/共29页第二十九页，共30页。内容总结一、创设情境。2、实际问题转化为数学问题：。如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。已知三角形的