四川省成都经济技术开发区实验高级中学校2023届高三数学下学期入学考试试题理

PAGEPAGE9成都经开区实验高级中学2022级高三下期入学考试题数学〔理工类〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择〕，考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。总分值150分，考试时间120分钟。第一卷(选择题，共60分)考前须知：1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，那么z=〔〕A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2.α∈(eq\f(π,2),π),,那么等于()A. B. C. D.3.向量〔，〕，〔，〕，与的夹角为,那么直线与圆的位置关系是〔〕A.相交B.相离C.相切D.随的值而定4.执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A.10B.24C.44D.705.△ABC中，的对边分别为.假设，且，那么〔〕A．2B．C．D．6.函数且的图象恒过定点，假设点在直线上，其中，那么的最小值为〔〕A.B.C.D.正视图侧视图俯视图7.一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是正视图侧视图俯视图A. B. C. D.8.，命题，那么〔〕9.定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，那么方程在内的零点之和为〔〕A．B．C．D．10．设动直线与函数的图象分别交于点，那么的最小值为〔〕A.B.C.D.11.数列满足假设对于任意的都有，那么实数的取值范围是A.〔0，〕B.〔〕C.〔〕D.〔〕12.如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域〔阴影局部〕，从内随机取一个点，那么点取自内的概率为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔每题4分，共20分〕13.向量与的夹角为，且，假设，，且，那么实数的值为_____.14.设假设，那么=15.，那么的展开式中的常数项是.〔用数字作答〕16．设函数，对任意,恒成立，那么实数m的取值范围是.三、解答题〔共6小题，共70分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程〕17.〔本小题总分值12分〕{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．18.〔本小题总分值12分〕锐角三角形中，角所对边分别为满足.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设是最大边，求的取值范围.HGFEDBCA19、如下图，平面平面，是等边三角形，是矩形，是的中点，是的中点，是的中点，与平面成角．HGFEDBCA〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面；〔3〕假设，求三棱锥的体积20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如下图的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.21.〔12分〕函数f〔x〕=sinx﹣ax．〔Ⅰ〕对于恒成立，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕当a=1时，令，求的最大值；〔Ⅲ〕求证：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题总分值10分。22.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－1＋2\r(2)t))(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值.23.〔此题总分值10分〕选修4-5:不等式选讲函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)假设f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

成都经开区实验高级中学2022级高三下期入学考试题数学〔理工类〕参考答案1—5ABBAA6—10ABDCA11—12BC13.14.15.56016.17.解：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q>0.由，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)×2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，那么Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，Sn＝(2n－3)×2n＋3，n∈N*.18.解：〔Ⅰ〕因为锐角三角形，那么，由正弦定理有：〔Ⅱ〕，且，那么，即又因的取值范围是19.〔1〕证明：是等边三角形，且是的中点，又平面平面，平面平面，平面平面IHGFEDBCA〔2〕证明：取的中点，连，IHGFEDBCA是矩形，是的中点，那么是平行四边形，那么平面平面平面〔3〕解：连，由〔1〕知平面，那么是与平面成角，即，且而是等边三角形，当时，在中，又，那么又是矩形，且是的中点，那么所以三棱锥的体积为20.解(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.21.解：〔Ⅰ〕f〔x〕=sinx﹣ax，f′〔x〕=cosx﹣a，假设对于x∈〔0，1〕，f〔x〕＞0恒成立，即a＜cosx在〔0，1〕恒成立，故a≤0；………………4分〔Ⅱ〕a=1时，h〔x〕=lnx﹣x+1，〔x＞0〕，h′〔x〕=﹣1=，令h′〔x〕＞0，解得：0＜x＜1，令h′〔x〕＜0，解得：x＞1，∴h〔x〕在〔0，1〕递增，在〔1，+∞〕递减，∴h〔x〕的最大值是h〔1〕=0；…………6分证明：〔Ⅲ〕构造函数g〔x〕=ln〔1+x〕﹣x，那么g′〔x〕=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′〔x〕＞0，g〔x〕在〔﹣1，0〕上单调递增；当x＞0时，g′〔x〕＜0，g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减；所以，当x=0时，g〔x〕=ln〔1+x〕﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g〔x〕≤g〔0〕=0，即ln〔1+x〕≤x，当x≠0时，ln〔1+x〕＜x．……8分令x=，那么ln〔1+〕=ln〔n+1〕﹣lnn＜，即ln〔n+1〕﹣lnn＜，……10分∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln〔n﹣1〕＜，ln〔n+1〕﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln〔n+1〕﹣ln1＜1+++…+，即．…………12分22.解(1)圆C的普通方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4)))；(2)直线l的普通方程：2eq\r(2)x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|2\r(2)＋1－1|,3)＝eq\f(2\r(2),3)，所以|AB|＝2eq\r(2－\f(8,9))＝eq\f(2\r(10),3)，点P到直线AB距离的最大值为r＋d＝eq\r(2)＋eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(5\r(2),3)，Smax＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(10),3)×eq\f(5\r(2),3)＝eq\f(10\r(5),9).23.解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得eq\f(2,3)<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<2)))).(2)由题设可得