第八节定积分的几何应用举例

第八节定积分的几何应用举例一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、平面曲线的弧长一、元素法1、什么问题可以用定积分解决

?2)A

对于区间

[a,b]具有可加性，3)部分量的近似值可表示为;当所求量A(非均匀分布量)符合下列条件：1)A

是与一个变量

x

的变化区间

[a,b]有关的量；即可通过:“大化小,常代变,近似和,取极限”表示为就可以考虑用定积分来表达这个量

A.2、如何应用定积分解决问题?1)根据问题的实际意义,确定一个积分变量x及其变化区间[a,b].2)任取一个小区间记为[x,x+dx],求出相应于这个区间的部分量A的近似值微分表达式

dA=f(x)dx3）求出整体量,即积分表达式这个方法通常叫做元素法．应用方向：求平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．二、平面图形的面积

1、直角坐标系情形设曲线

y=f(x)(x

0)与直线

x=a,x=b(a<b)及x

轴所围曲边梯形的面积为A,则如右下图所示图形的面积：如图所示图形面积为解例1

计算由两条抛物线

y2=x和y

=x2

所围成的图形的面积.得两曲线交点面积元素问题：积分变量只能选x

吗？xyo曲边梯形的面积xyo图形的面积解例1

计算由两条抛物线

y2=x和y

=x2

所围成的图形的面积.得两曲线交点面积元素解题步骤：1.根据题意画出平面图形.4.写出微元(面积元素)dA.2.求出边界曲线的交点.5.求出3.确定一个积分变量及其变化区间[a,b].解得两曲线的交点解得两曲线的交点解得交点为说明：注意各积分区间上被积函数的形式．解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当

a=b

时得圆面积公式用参数方程表示的曲边梯形的面积若曲边梯形的曲边y=f(x)(a

x

b)可化为参数方程则曲边梯形的面积解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5

求星形线围成图形的面积.作业：的一拱与

x

轴所围平面图形的面积.解:求由摆线面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知例

计算心形线与圆所围图形的面积

.

解

利用对称性

,所求面积练习：

计算心形线的内部与圆外部所围图形的面积

.

练习1、求心形线

=a(1+cos)的内部与圆=a的外部所围图形的面积

.

2、设抛物线的轴平行于

x轴，开口向左，且通过原点与点(2,1)，求它与

y轴之间面积为最小的抛物线方程

.

求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）3、小结思考题思考题解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积1、绕

x轴旋转所得旋转体体积xyo旋转体的体积为解直线OP

方程为例1

如图的直角三角形绕x轴旋转的旋转体的体积．解例

计算由椭圆所围图形绕

x

轴旋转而成的椭球体的体积.

解则(利用对称性)当b=a

时,就得半径为a的球体的体积方法2利用椭圆参数方程则2、绕

y轴旋转所得旋转体体积解解练习1、求由曲线

(x2)2+y2=1围成的图形绕

y轴旋转所得旋转体的体积.

2、求半径为

r高为

h的球缺的体积

.

3、在一半径为

R的球内以直径为轴打一个半径为

r的圆孔

(r<R)，求剩下部分的体积

.

3、补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为(2)曲边梯形绕直线x=a旋转所得旋转体体积旋转体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周4、小结思考题解答交点立体体积思考题四、平行截面面积为已知的

立体的体积

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积例五、平面曲线的弧长

1、平面曲线弧长的概念弧长元素弧长2、直角坐标情形解所求弧长为解解解曲线弧为弧长3、参数方程情形解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长证椭圆积分