矩阵初等变换的性质和应用

PAGEPAGE39分类号O15 陕西师范大学学士学位论文矩阵初等变换的性质和应用作者单位数学与信息科学学院指导老师任芳国作者姓名黄敏专业、班级数学与应用数学专业07级4班提交时间二O一一年五月矩阵初等变换的性质和应用黄敏(数学与信息科学学院2007级4班)指导教师任芳国副教授摘要:本文首先采用了分析、归纳和比较的方法对矩阵矩阵初等变换的性质进行了全面地阐述与总结；然后详述了矩阵初等变换在行列式、线性空间、数论等八个方面的应用．关键词:初等变换;初等矩阵;初等变换的性质;初等变换的应用ThequalitiesandapplicationsofelementarytransformationofMarixHuangMin(Class4,Grade2007,CollegeofMathematicsAdvisor:ProfecssorRENFang-guoAbstract:Inthisdissertation,themethodsofanalysis,inductionandcomparisonarefirstlyemployedtoelaborateonthequalitiesofelementarytransformationofmatrixcomprehensivelyandsystematically,secondlytheapplicationsofelementarytransformationofmatrixroneightareassuchasdeterminant、linearspace、numbertheoryandsoonareintroduceddetailedly.Keywords:adjointmatrix;self-adjointmatrix;qualitiesofadjoint-matrix;引言在高等数学中，矩阵扮演了及其重要的角色．例如，在求解线性方程组解的过程中，人们利用矩阵不仅可以简洁明了地表示原先大型复杂的线性方程组，而且根据矩阵的性质还可以方便地判断线性方程组解的情况，甚至还可以用矩阵来表示出线性方程组的解．1.1选题背景矩阵初等变换是线性代数里面的一项重要内容，也是线性代数的一个重要工具，它在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用，如求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型等.初等变换的应用几乎贯穿线性代数内容的始终，几个主要概念和计算几乎都涉及到.它正如一只看不见的手，将线性代数各个部分看似零散的知识点统一起来，形成一个整体.同时，作为矩阵运算的一种方法，其在高等代数中有着极为重要的地位，也是高等代数的教学重点和难点.虽然初等变换的内容比较简单,但它贯穿于整个高等代数理论的始终,应用初等变换证明命题,过程容易被接受.所以,许多学者们也在不断地挖掘初等变换的潜力,尽量用它来描述、证明、计算各种问题，使初等变换能在数学领域及其它科学领域中发挥更大的作用.1.2前人研究综述但是目前国内关于矩阵初等变换的研究多是就其在某一方面如二次型、解方程组等的应用，而国外很多矩阵、线性代数方面的研究基于矩阵的初等变换，一其为研究的工具，却缺少矩阵初等变换的专论.因此，一方面矩阵的初等变换处境尴尬，作为必不可少的工具却不被重视，另一方面即使被重视，关于它的理论知识、研究成果凌散、不系统.目前国内的高等代数教材比较多，如由高等教育出版社出版，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编著的《高等代数（第三版）》，全书共10章，内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、-矩阵、欧几里得空间、双线性函数与辛空间.刘仲奎、杨永保、程辉、陈祥恩所编，高等教育出版社出版的《高等代数》内容包括：行列式、多项式与矩阵、向量空间、线性方程组、线性变换、欧氏空间等.西北工业大学高等代数编写组编，科学出版社出版的《高等代数》一书共分14章，几乎包含了高等代数的全部内容，研究对象从比较具体的行列式、矩阵、向量、线性方程组、多项式、相似变换、二次型、λ－矩阵到比较抽象的线性空间、线性变换、欧氏空间、酉空间、双线性函数，进而介绍近世代数的有关内容.姚慕生、吴泉水编著，复旦大学出版社出版的《高等代数学（第二版）》一书以线性空间为纲，在线性空间的框架下展开高等代数的主要内容.内容包括：行列式、矩阵、线性空间和线性变换、多项式、特征值、相似标准型、二次型、内积空间和双线性型等.由上可见，几乎在所有的高等代数教科书中,都已经介绍了利用初等变换可以求行列式的值、求逆矩阵、判断线性方程组解的存在问题、求线性方程组的基础解系、求一个向量由一组向量线性表示、判断向量组的线性相关性、求矩阵的秩等.除此之外,初等变换还可以用于求多项式的最大公因式、求特征值与特征向量、求标准正交基.但目前并没有专讲矩阵的初等变换方面的书籍.通过查阅中国期刊全文数据库了解到目前涉及矩阵初等变换方面的研究论文有：杨甲山的《初等变换的应用》，文中提到矩阵的初等变换在关于行列式、线性相关性问题中的应用；蔡若松、张莉所著《初等变换应用浅议》一文提出了使用初等变换求多项式的最大公因式、求特征值与特征向量、求标准正交基的一种新尝试.李桂荣、刘学鹏《关于线性方程组解结构的进一步研究》用分块矩阵的性质和特点得到了一般线性方程组解存在的充分和必要条件.王小为《矩阵初等变换的独立性》提出矩阵的三种行初等变换不是独立的，第三种可由前两种变换实施得到.和斌涛《矩阵初等变换的若干应用》谈到利用矩阵初等变换求多个多项式的最大公因式的方法，并利用此方法求解n元一次不定方程和线性同余方程组.谭军《矩阵初等变换的一些性质及应用》对初等变换在线性代数课程中的应用做了全面的列举，其中独到之处是提到用初等变换求的子空间与的和与交的维数.王成、饶成军《矩阵初等变换的应用研究》应用矩阵的初等变换求两个整数的最大公因数、最小公倍数、求m个整数的最大公因数、多项式的最大公因式、最小公倍式.1.3选题的意义“高等代数”课是本科数学专业的一门重要的基础课，也是理工科大学各专业的重要数学工具，它对数学专业的许多后继课程有直接影响，关系到学生数学素质的培养.在高等代数中,初等变换虽然算不上是重点也算不上是难点,但它却是高等代数理论研究的一个必不可少的工具,许多繁琐的问题通过初等变换可使过程大大化简.从以上文献资料来看，虽然各种版本的高等代数方面的教材都广泛地涉及矩阵的初等变换，国内外对矩阵初等变换的研究也取得了较大的进展，但是目前关于专写矩阵的初等变换，全面细致的论述矩阵的初等变换的相关理论及应用的.所占比例却不是很高.目前对矩阵的初等变换的研究内容主要集中在矩阵初等变换的性质及应用方面，具体包括以下几点：1.性质：对矩阵作行的初等变换，不改变列向量之间的线性关系，进行行初等变换对矩阵行向量线性关系的影响.n阶可逆矩阵A经基本初等变换可化为特殊对角形式；对于-矩阵，也有相应类型的初等变换和初等矩阵，上述结论同样成立.不改变矩阵的秩、不改变向量组的线性相关性.矩阵的三种初等变换间的关系.2.应用：在行列式、多项式、线性空间、二次型、矩阵、解方程、向量组、线性方程组方面的应用.本文旨在综合前人在矩阵初等变换方面的诸多研究，对矩阵初等变换的相关理论成果做全面的梳理整合，使矩阵初等变换的理论更全面、细致，同时在借鉴前人的基础上，提出自己的新见解，希望能对矩阵理论的教学提供参考作用.二、预备知识：矩阵初等变换的定义及其表示2.1矩阵初等变换的定义定义2.1.1所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1）以中的一个非零的数c乘矩阵的某一行；2）把矩阵某一行的k倍加到另一行；3）互换矩阵中两行的位置.定义2.1.2所谓数域上矩阵的初等列变换是指下列三种变换：1）以中的一个非零的数乘矩阵的某一列；2）把矩阵某一列的倍加到另一列；3）互换矩阵中两列的位置.2.2矩阵初等变换的表示矩阵经过三种初等行变换变为矩阵，可分别表示为：相应地，三种初等列变换对应可表示为：2.3初等矩阵2.由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.2.初等矩阵都是方阵，每种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵.三种初等行变换对应的初等矩阵如下：=,也可看成用乘单位矩阵的第列得到的；=，也可看作把单位矩阵的第列的倍加到第列上得到的；=，也可看作交换单位矩阵的第列和第列得到的.2.引理对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵.故是用乘矩阵的第行得到的矩阵，是用乘矩阵的第列得到的矩阵.是把矩阵的第行的倍加到第行得到的，是把矩阵的第列的倍加到第列得到的.是交换矩阵的第行和第行得到的，是交换矩阵的第列和第列得到的.2.初等矩阵均可逆，它们的逆矩阵仍是初等矩阵.由逆矩阵的定义易得矩阵初等变换的性质3.1三种初等变换之间的关系就初等变换的实质来说，这三种变换不是独立的，下面以行变换为例来说明.命题1矩阵的上述三种初等变换不是独立的.即某一种初等变换可由其它初等变换来实现.证明下面证明第三种初等变换可由第一种和第二种来实现.设=为数域上一矩阵.其中对进行前两种初等行变换最后这个矩阵就达到了第三种初等变换的效果，即s行与t行互换位置.那么第一、二种变换可否由其它初等变换得到呢？命题2矩阵的第一、二种初等变换是独立的.即矩阵的第一种初等变换不能由第二、三种初等变换来实现.第二种初等变换不能由第一、三种初等变换来实现.证明：第一种初等变换不能由第二、三种初等变换来实现.不妨以为阶方阵来说明.,则=，进而由行列式的性质知当或时，显然，.从而第一种初等变换不能由第二、三种初等变换得到.第二种初等变换不能由第一、三种初等变换来实现.仍以初等行变换来说明.则则当时，显然，，从而第二种初等变换不能由第一、三种初等变换来实现.3.2初等行变换对矩阵列向量的影响引理线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解的方程组.定理1对矩阵作初等行变换，不改变矩阵列向量的线性关系.证明已知是数域上一矩阵，，令其列向量满足下面线性关系，即方程（1）经过初等行变换化为阶梯形矩阵=(按列分块)其列向量满足下面线性关系，即方程（2）那么方程（2）的一组解使由引理知方程（1）与（2）同解，所以3.3初等列变换对矩阵行向量的影响定理2对矩阵作初等列变换，不改变矩阵行向量的线性关系.证明：已知是数域上一矩阵,.令其列行向量满足下面线性关系，即方程,,即==0（1）设经过一次初等列变换后得到,其中,为的行向量.是与初等列变换对应的初等矩阵，那么=且可逆.将(1)式两端同右乘得=(与是同类型的初等矩阵)则==0对该式两边同右乘得 =0 即=0那么有如下线性关系初等列变换不改变矩阵行向量的线性关系.3.4初等行变换对矩阵行向量的影响由定理1知对矩阵作行的初等变换不改变矩阵列向量之间的线性关系，那么初等行变换对行向量的线性关系又有怎样的影响呢？看下面的例子.例1已知向量组，把作为行向量排成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为阶梯形：可见是极大线性无关组，但这个结论是错误的.因为所以线性相关.所以对矩阵进行初等行变换改变了矩阵行向量的线性关系.初等行变换对矩阵行向量的线性关系具体的影响是什么呢？设=是数域上的矩阵.每一行都可看作中的向量.经过一次初等行变换后得到,令,其中,分别是,的行向量.的行向量满足下面的线性关系式：,,即==0（1）设是与初等行变换对应的初等矩阵，那么可逆且=,进而=，那么(1)式变为===（2）因此有下面的定理3设是数域上的矩阵，经过一次初等行变换（所对应的初等矩阵为）后得到,与的行向量分别为和.如果有下面的线性关系=0，那么有线性关系上定理中如果：1）当有；2）当有；3）当有，.3.5初等列变换对矩阵列向量的影响设=是数域上的矩阵，每一列都可看作中的向量，称为的列向量.经过一次初等列变换后得到,令其中，分别为的列向量.的列向量满足下面的线性关系式即（1）设是与初等列变换对应的阶初等矩阵，那么可逆且=,该式右乘得,那么（1）式变为即因此有下面的定理定理4设是数域上的矩阵，经过一次初等列变换（设对应的初等矩阵为）后得到,的列向量分别为和，如果有下面的线性关系式那么有线性关系上定理中如果：1）有2）当有；3）当有，.3.6初等变换不改变矩阵的秩定义所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的行秩，那么它有非零解.定理5矩阵的行秩和列秩相等.因为行秩等于列秩，所以就统称为矩阵的秩.根据定理1和2，对矩阵作初等行变换，不改变矩阵的列向量组的线性关系；对矩阵作初等列变换，不改变矩阵的行向量组的线性关系.因此初等变换不改变矩阵的秩.3.7初等变换不改变向量组的线性关系根据定理1，把向量组的向量按列排成矩阵，对该矩阵作初等行变换可知向量组的线性关系没有改变.3.8初等变换对矩阵的作用定理6对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵.四、矩阵初等变换的应用4.1在行列式中的应用4.1.1公式的证明和应用一般书中对该公式的证明都较繁琐，要用到拉普拉斯定理，构造新的行列式来证明.但若用矩阵的初等变换这个工具，就可使证明过程简单明了，先看一个结论.引理(1)设是一个阶初等矩阵，则对任意阶方阵，有(2)若均为阶初等矩阵，则对任意阶方阵，有证明：（1）当时，因为，所以当时，因为，所以当时，因为，所以综上，对任意一个阶初等矩阵和阶方阵，都有，同理有(2)由数学归纳法可得.定理7设是两个阶方阵，则.证明：当是可逆矩阵时，（其中是阶初等矩阵），因为，所以当不可逆时，(其中是阶初等矩阵,是阶阶梯形矩阵且满足条件：每一行的第一个非零元素为1，且此元素所在列中其它元素均为0)，因为不可逆，当且仅当(其中为单位矩阵)，故中至少最后一行为全零行，从而最后一行必为全零行，所以，,又所以.用此公式计算某些特殊的行列式或行列式的乘积，相当方便.例1设,则=例2设，计算.解：因,则又的对角线元素全是，而行列式中项的符合为正，所以4.1.2用分块矩阵计算行列式类似矩阵的初等变换，我们把分块矩阵的每个子块当成元素来看，同样可定义分块矩阵的初等行变换.定义下列三种类型的变换称为分块矩阵的初等行变换.（1）对调分块矩阵的两行；（2）以一可逆阵左乘分块矩阵某一行中的所有元素；（3）以矩阵左乘分块矩阵某一行中的所有元素后加到另一行对应的元素上去.同样地，对单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行变换后的矩阵，称为初等分块矩阵.设矩阵,其中子块分别是阶、阶方阵，单位矩阵，其中子块分别为阶、阶单位矩阵.设，，,则它们均为初等分块矩阵.易验证对分块矩阵施行分块矩阵的初等行变换相当于用相应的初等分块矩阵左乘分块矩阵.引理对分块矩阵进行第三类分块矩阵的初等行变换后得到矩阵,则.证明：不妨设,则.显然,所以.引理设是阶方阵，是阶方阵，则证明：由行列式按行展开定理，显然有,因为，所以=类似可得.定理？设,其子块分别是阶、阶方阵且可逆，则证明：.若子块可逆，类似可得到：.利用这两个公式可以把高阶行列式化为低阶行列式，简化计算.例3设,计算.解：===2=2=2=2=22例4已知和均为阶方阵，证明.证明：由于(为单位矩阵)，两边取行列式可得.由例4可见，利用矩阵的初等变换和分块矩阵来讨论行列式中的某些公式很方便.4.2在线性相关问题中的应用向量组的线性相关问性有如下主要内容：设有维向量组.判别此向量组的线性相关性；求此向量组的极大线性无关组和向量组的秩；此向量组中的任一向量用极大线性无关组表示.对于最后一个问题一般采用观察法或从定义出发求线性表示的系数.这两种方法在应用时都会遇到麻烦，特别是向量维数较大或向量个数较多时，就更繁琐.若用初等变换，就会简单很多.其依据是定理1矩阵的初等行变换不改变其列向量之间的线性关系.例5判断向量组，，，，的线性相关性，并求出一个极大线性无关组，把其它向量用极大线性无关组表示出来.解：将行向量改成列向量构成矩阵，用初等行变换把化成阶梯形，故向量组线性相关，向量组的秩为3，极大线性无关组含3个向量.且三个非零行的第一个非零元在1、2、4列，故为一个极大线性无关组.为把用表示，再对阶梯形矩阵进行初等行变换化成行最简形矩阵，即就是让第1、2、4列构成单位矩阵：把该行最简形矩阵记作,由于方程和同解，因此向量组与向量组之间有相同的线性关系.现在有，，因此有，4.3在数论中的应用4.3.1用初等变换求整数的最大公因数、最小公倍数4.3.1.1求两个整数的最大公因数、最小公倍数在初等数论中，求两个整数和的最大公因数，最小公倍数通常是先求出两整数的标准分解式，再求和的最大公因数，最小公倍数.此法的弊端是当和的绝对值较大时，对它们进行标准分解很繁琐.下面介绍一种矩阵求法.定义设，若为整数，则称为整数矩阵.命题1设、,，则存在整数矩阵且使得，其中是和的最大公因数，是和的最小公倍数，记=，=.证明：由、知存在使得.令，则；.记=，=，则，，从而可以构造整数矩阵，使得命题2矩阵左（右）乘一个可逆的整数矩阵相当于对进行一系列的整数初等行（列）变换.证明：由引理级矩阵为可逆的充要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积.由命题1和命题2可得到求两整数和的最大公因数、最小公倍数的矩阵方法：构造矩阵，对实施整数初等行变换，把化成阶梯形矩阵，则是和的最大公因数，是和的最小公倍数.例6已知=4914，=54978，求和.解：构造矩阵所以=42，=6432426.4.3.1.2求个整数的最大公因数（21:05）命题3设是个不全为0的整数，它们的最大公因数，则存在阶可逆方阵，使得=（）.证明：用数学归纳法（1）当=2时，可设，由辗转相除法知： （）于是令则=，命题成立（2）假定当时，命题成立，则当时，由假定知存在阶可逆方阵，使得=，其中是的最大公因数.从而有又由（1）知存在二阶可逆方阵使得，其中是和的最大公因数，即的最大公因数.于是令,则，即当时，命题成立；由数学归纳法原理知当时，命题成立.（证毕）由命题3的证明可得如下两个推论：推论1：设是个不全为0的整数,则存在上的阶可逆方阵，使得=，其中是的最大公因数，是一些矩阵的乘积，且.的求法如下：将下面写一个阶单位阵，构成一个阶矩阵，在对施行初等列变换，当的第一行变成时，下面的单位矩阵就化成了矩阵.即，由于只涉及到第二、三种初等列变换，所以.推论2：的最大公因数可表示成它们的线性组合，即，其中是矩阵的第一列元素.证明：由推论1=和矩阵乘法的定义，易得.例7：求115，570,935的最大公因数，并把它表示成它们的线性组合.解：作矩阵，并对施行初等列变换故所求最大公因数=5且=.4.3.2初等变换与多项式把4.3.1.1的命题1加以推广，可以得到多项式的最大公因式、最小公倍式的矩阵初等变换求法.命题4：设是中的非零多项式，若=，则存在可逆多项式矩阵，使得，其中是的最大公因式，是的最小公倍式，记=，=.证明：由是中的非零多项式，知存在使得令，其中，，为的首项系数，则有，而-，所以矩阵可逆，命题4得证.类似命题2，我们有：命题5：每个可逆的多项式矩阵可以表示成一些初等多项式矩阵的乘积，对一多项式矩阵左乘一个初等多项式矩阵相当于对进行一次初等行变换.根据命题4、5可得到求两个多项式的最大公因式、最小公倍式的方法：（1）构造多项式矩阵（2）对进行初等行变换化为上三角矩阵，其中的首项系数为1，则是的最大公因式，是的最小公倍式.例8：已知，，求和的最大公因式和最小公倍式.解：构造多项式矩阵所以=，=4.4初等变换在线性空间中的应用4.4.1求线性空间的子空间与的和与交的维数在中设=，=，欲计算+，的维数.可先构造矩阵=，利用初等行变换求中列向量组的极大线性无关组，从而得到+的一个基，其中向量个数即为+的维数，再由维数公式即可得的维数.4.4.2求线性空间中的线性变换在一组基下的矩阵和的坐标定义1：线性空间的一个变换称为线性变换，如果对中任意的元素和数域中任意数都有，定义2：设是数域上维线性空间的一组基，是中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出，用矩阵表示就是=其中矩阵=，矩阵称为在基下的矩阵.例9已知中的向量及中的一个基，，，中的线性变换使得，，，在在基下的矩阵和在基下的坐标.解：构造矩阵==对作初等行变换，化为最简形矩阵，即使前三列构成三阶单位矩阵，从而线性变换在基下的矩阵为，下面求在基下的坐标：从最简形矩阵易得，所以（1）又，，代人（1）式得所以在基下的坐标为4.4.3求特征值和特征向量在高代教材中，求特征值和特征向量一般采用分步法，即先求特征值，再分别求各特征值对应的特征向量，下面介绍一种初等行变换同步求得特征值和特征向量的方法.例10求矩阵的特征值和特征向量，其中=.解：=，由得特征值（二重）.，由此得特征值的特征向量为；，由此得特征值的特征向量为.4.4.4从任意一个基求标准正交基定义1：欧氏空间中一组非零向量，如果它们两两内积为0，即两两正交，就称它们为一正交向量组.正交向量组是线性无关的.定义2：在维欧式空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.一般教材中，求标准正交基采用的是施密特正交化方法，一次求一个向量，这里使用初等变换可同步得到所有向量.命题6：设，是线性无关的，记，则进行如下合同变换,矩阵的列向量组即为一个正交组.证明：设矩阵可经初等行变换化为正交矩阵，则必有可逆阵矩阵使,可以看到：对进行合同变换（同时进行相同的初等行变换和初等列变换），对只进行相应的初等行变换，当变成时，就变为.例11：把一组基，，化为标准正交基.解:先化为正交基，令=，则==，故=，所以标准正交基为，，，4.5初等变换与矩阵4.5.1初等变换在数字矩阵中的应用4.5.1.1利用初等变换判断矩阵中的可逆性利用初等变换把矩阵化为阶梯形，若其对应的行列式不为零，则矩阵可逆，且行列式的值等于主对角线上的元素之积.但应注意第一、三种初等变换会改变行列式的值.例12：已知矩阵=判断矩阵是否可逆.解：由于，因为，所以可逆.4.5.1.2利用初等变换求逆矩阵设为阶可逆阵，将与组成一个行列矩阵,则由可知，通过对矩阵作一系列初等行变换，即可求出.用该法注意只能进行初等行变换.例13：已知=求.解：由于=所以=4.5.1.3利用初等变换求矩阵的秩由于初等变换不改变矩阵的秩，故可利用初等行变换将矩阵化为上三角形矩阵，非零行的个数即为矩阵的秩.也可利用初等列变换将矩阵化为下三角形矩阵，非零列的个数即为矩阵的秩.例14：已知=求.解：对作初等行变换，化成下三角形矩阵，因为有3个非零行，所以=3.4.5.2初等变换在分块矩阵中的应用矩阵分块是矩阵理论中的基本方法之一，而初等变换则是处理分块矩阵的重要工具.4.5.2.1求分块矩阵中的逆矩阵例15：设分块矩阵,其中矩阵、可逆，为零矩阵，求.解：由于,所以进而4.5.2.2求分块矩阵中的秩命题7：设是一个矩阵，是一个矩阵，则，当且仅当（或）是非奇异方阵或者也为零矩阵时，等号成立.证明：？例16：设是一个矩阵，矩阵是非奇异顺序主子阵，则.证明：因为,而是非奇异阵，所以4.5.3初等变换在矩阵中的应用定义：元素是关于文字的多项式的矩阵称为矩阵.定义：下面的三种变换叫做矩阵的初等变换.1）矩阵中的两行互换位置.2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进矩阵的初等矩阵.如把单位矩阵的第行的倍加到第行（或是将第列的倍加到第列）得仍用表示交换单位矩阵的第行和第行得到的初等矩阵.用表示单位矩阵的第行乘以得到的矩阵.矩阵的初等变换主要用来求矩阵的标准形，进而求初等因子、不变因子的等.定义：任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵其中，是首项系数为1的多项式，，称为的标准形.定义：标准形的对角线上的非零元素称为矩阵的不变因子.定义：把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项系数为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现次数计算）称为矩阵的初等因子.例17：用初等变换化矩阵为标准形，并求出它的不变因子和初等因子.解：先化为标准形，故不变因子分别为1，和，初等因子为，和.4.6初等变换与二次型利用初等变换求二次型的标准形.命题：任意给定实二次型,其中总有正交变换使化为标准形其中是二次型的矩阵的个特征值.证明：要使二次型经过非退化线性变换化成标准形，也即使=从矩阵角度说即找一个可逆阵使得为对角阵，即=，我们称与合同.对一个实对称矩阵，总有正交矩阵使得==，其中是的个特征值.由以上分析知，欲求二次型的标准形，只需求与合同的对角阵，所以对进行合同变换，即对进行初等行变换，再进行初等列变换，直到把化成对角阵.该对角阵即为所求标准形.例18：化二次型为标准形.解：的矩阵为=，对进行合同变换所以该二次型的标准形为.4.7用初等变换解方程4.7.1对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，将增广矩阵化为行阶梯形，即易得方程组的解.注意只能作初等行变换.例19：解线性方程组解：增广矩阵=故，同解中有4-2=2个自由未知量，取为自由未知量，即，令，则方程组的同解为，其中为任意常数.4.7.2求解矩阵方程若矩阵方程的形式是,均为矩阵，其中可逆.由于,现构造一个矩阵,利用矩阵的初等行变换，化矩阵为单位矩阵，则矩阵同时变为.例20：设=，=，求使得.解：=，所以=.若矩阵方程的形式为,由于，则可对矩阵,即可得.4.7.3求解线性不定方程命题：设元线性不定方程，（3）其中的最大公因数为，若，则方程（3）有整数解，其解为（4）其中，而是（1）中矩阵的元素.证明：由（2）得，又由于，所以，，…，是方程（3）的一组整数解.下面证明（4）是方程（3）的一组整数解：，由（4）得由（1）得===，故（4）是（3）的一组整数解.另一方面，还需证明（3）的任意一组整数解都能表示成（4）的形式：设，，…，是方程（3）的任意一组整数解，那么（5）由得，所以,再由（1）得====所以，，…，，再由（5）得=令，则===，所以=.4.8初等变换与向量组4.8.1求向量组的秩、极大线性无关组，并用极大线性无关组表示其余向量例21：已知向量组，，，求其极大线性无关组，并表示其余向量.解：把它们按列排成矩阵，并对作初等行变换化成行阶梯形====由于向量是向量组的极大线性无关组，根据定理？知是的极大线性无关组，的秩为2，且其它向量可用极大线性无关组表示为：.也可把按行排成矩阵，进行初等列变换化成最简形式.4.8.2判断向量组是否等价有向量组与向量组，如何判断它们是否等价？1）先构造矩阵=，对作初等行变换化成行阶梯形可以判断向量组可否由向量组线性表出；2）再构造矩阵=，用同样的方法判断向量组可否由向量组线性表出.进而看它们是否等价.例22：证明以下两向量组等价：，；，，证明：构造矩阵=划线矩阵说明，，划线矩阵说明，，因此它们等价.4.8.3证明“两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量”该结论一般放在替换定理之后作为推论出现，如果不用替换定理，利用关于初等行变换的定理也可直