广东省茂名市金山中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省茂名市金山中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为（）A. B.2 C. D.4参考答案：B【分析】根据题意求出长方体的三条棱的长度，最长棱的一半即为球的直径的最大值．【详解】设长方体三条棱的长分别为，由题意得，解得．再结合题意可得，铁球的直径最大只能为．故选B．【点睛】本题考查长方体的有关计算和空间想象能力，解题时要明确当球与长方体的对面都相切时半径最大，故只需求出长方体的最长棱即可，属于基础题．2.若，是第三象限的角,则=

A.

B.

C.

D．-2参考答案：D略3.若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C． D．参考答案：C试题分析：因,故,应选C.考点：导数及运用．5.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1），则可设直线AB的方程为y=x﹣1联立方程，可得x2﹣6x+1=0则有x1+x2=6，x1x2=1，直线A1B的斜率k====，∴直线A1B的斜率为，故选C．6.某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是（）A．15 B．27 C．135 D．165参考答案：C【考点】频率分布直方图．【分析】先由频率分布直方图计算出周末的学习时间是[5，15）小时的频率，进而可得周末的学习时间是[5，15）小时的人数．【解答】解：周末的学习时间是[5，15）小时的频率为1﹣（0.02+0.045+0.03+0.015）×5=0.45，故这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是300×0.45=135，故选：C7.已知函数，则，，的大小关系为（A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略8.在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C． D．参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B9.已知函数f（x）=，若f（x）﹣（m+1）x≥0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[2，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得f（x）≥（m+1）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+1）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，求出m=1，通过图象观察，即可得到所求m的范围．【解答】解：若f（x）﹣（m+1）x≥0，即有f（x）≥（m+1）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+1）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，（x2+2x）′=2x+2，则m+1=2，解得m=1，由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有0≤m+1≤2，解得﹣1≤m≤1．故选：B．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．10.定义新运算：当时，；当时,，则函数，的最大值等于（

）A．-1

B．1

C．6

D．12参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的展开式中x的系数为

．参考答案：15012.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是．参考答案：考点：平均值不等式在函数极值中的应用．专题：综合题．分析：由条件可得xy+yz+xz=﹣1，利用x+y+z=1，可得xyz=z3﹣z2﹣z，利用导数的方法，可求xyz的最大值．解答：解：∵x+y+z=1①，x2+y2+z2=3②∴①2﹣②可得：xy+yz+xz=﹣1∴xy+z（x+y）=﹣1∵x+y+z=1，∴x+y=1﹣z∴xy=﹣1﹣z（x+y）=﹣1﹣z（1﹣z）=z2﹣z﹣1∵x2+y2=3﹣z2≥2xy=2（z2﹣z﹣1）?3z2﹣2z﹣5≤0?﹣1≤z≤令f（z）=xyz=z3﹣z2﹣z，则f′（z）=3z2﹣2z﹣1=（z﹣1）（3z+1）令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜，∴f（z）在区间[﹣1，﹣]单调递增，在[﹣，1]单调递减，在[1，]单调递增，当z=﹣时，xyz的值为，当z=时，xyz的值为，∴xyz的最大值为．故答案为：．点评：本题考查最值问题，考查导数知识的运用，解题的关键是正确转化，从而利用导数进行求解．13.底面边长为a正四棱锥S—ABCD内接于球O，过球心O的一个截面如图，则球O的表面积为

；A、B的球面距离为

参考答案：、14.设a＞0，b＞0，若a+b=4，则的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由已知得=，由此利用均值定理能求出的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴==++≥+2=．当且仅当时取等号，∴的最小值为．故答案为：．15.过的直线与圆C：(x-1)2+y2=4交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为

．参考答案：2x－4y+3=016.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为

▲

．参考答案：17.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是____________．参考答案：13试题分析：系统抽样制取的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为．考点：系统抽样．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.直线与双曲线的左支交于两点,另一条直线过点和的中点,则直线在轴上的截距的取值范围为____________.参考答案：19.（本小题共14分）

如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

参考答案：（Ⅰ）证明：在△中，.又.由.

…………4分（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……5分．设为平面的一个法向量，因为所以，

令，得.所以为平面的一个法向量．

……7分设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为．

…9分（Ⅲ）设,则

…12分当时,

的最小值是．

即为中点时,的长度最小,最小值为．

…14分20.已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：（1+x）（1+y）（1+z）≥8．参考答案：证明：因为x为正数，所以1+x≥2，同理1+y≥2，1+z≥2，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥2?2?2=8因为xyz=1，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥8．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式，即可证明结论．解答：证明：因为x为正数，所以1+x≥2，同理1+y≥2，1+z≥2，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥2?2?2=8因为xyz=1，所以（1+x）（1+y）（1+z）≥8．点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.

已知函数上是增函数.

（I）求实数的取值范围；

（II）设，求函数的最小值.参考答案：解：（I）

所以

（II）设

（1）当时，最小值为；（2）当时，最小值为。略22.13分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求、、的值；（2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.参考答案：解：（1）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：

---------------2分第一组的人数为，频率为，所以．由题可知，第二组