广东省茂名市石油化工公司第二职业高级中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

广东省茂名市石油化工公司第二职业高级中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=2cosx的定义域为[，]，值域为[a，b]，则b﹣a的值是（）A．2 B．3 C．+2 D．参考答案：B【分析】根据函数y=2cosx的定义域为[，]，求得它的值域，可得a、b的值，从而求得b﹣a的值．【解答】解：根据函数y=2cosx的定义域为[，]，故它的值域为[﹣2，1]，再根据它的值域为[a，b]，可得b﹣a=1﹣（﹣2）=3，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，属于基础题．2.对于函数，当实数属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对（），使得当函数的定义域为时，其值域也恰好是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.（5分）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（） A． 0 B． 1 C． D． 5参考答案：C考点： 函数奇偶性的性质；函数的值．专题： 计算题；压轴题；转化思想．分析： 利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．解答： 由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．点评： 本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．4.已知函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.以上都不对参考答案：B【分析】利用可求得的范围，即为所求的定义域.【详解】定义域为

的定义域为本题正确选项：【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解问题，关键是能够采用整体代换的方式来进行求解.5.已知正数x、y满足，则的最小值为（

）A.8 B.12 C.10 D.9参考答案：D【分析】根据不等式性质的到【详解】正数、满足，根据不等式性质得到：等号成立的条件为故答案为：D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}参考答案：B7.函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为

（

）A．B．C．

D．

参考答案：A略8.给出下列命题，错误命题的个数为（

）①一条直线和两条直线平行线中的一条垂直，则它也和另一条垂直；②空间四点A、B、C、D，若直线AB和直线CD是异面直线，那么直线AC和直线BD也是异面直线；③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；④若一条直线L与平面内的两条直线垂直，则.A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B9.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=和y=（）2 B．y=lg（x2﹣1）和y=lg（x+1）+lg（x﹣1）C．y=logax2和y=2logax D．y=x和y=logaax参考答案：D【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，y==|x|（x∈R），与y==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数；对于B，y=lg（x2﹣1）=（x＜﹣1或x＞1），与y=lg（x+1）+lg（x﹣1）=lg（x2﹣1）（x＞1）的定义域不同，不是同一个函数；对于C，y=logax2=2loga|x|（x≠0），与y=2logax（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一个函数；对于D，y=x（x∈R）y=logaax=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．故选：D．10.在给出的四个函数中，当时，其中增长速度最快的函数是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象如图所示，则的值等于

.参考答案：

略12.若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是

．参考答案：{a|a≤﹣6，或a≥2}【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．13.已知，幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则f（2）的值为

．参考答案：16【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则指数是偶数且大于0，由于﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则指数是偶数且大于0，∵﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4≤4，∴因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，∴m=﹣1，f（x）=x4，∴f（2）=24=16．【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.设，，则满足

的集合的子集有

个。参考答案：815.不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是

。参考答案：12≤Mp1516.在△ABC中，若b=1，c=，，则a=

。参考答案：117.在△ABC中，，，，则角B的大小为_____．参考答案：【分析】由，根据同角的三角函数关系中的商关系，可以求出角正切值，再根据角是三角形的内角，这样可以求出角，由正弦定理可以求出角的大小，最后由三角形内角和定理可以求出角的大小.【详解】因为角是三角形的内角，所以，又因为，所以有，所以，由正弦定理可知：，因为，所以，因此，由三角形内角和定理可知：.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系中的商关系，考查了余弦定理、三角形内角和定理、以及特殊角的三角函数值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若构成等比数列，且：（1）证明：；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求证：对任意正整数n，有参考答案：解：（1）在中令n=1，则，又数列各项均为正数，..............................................2分（2）时，，时，，两式相减得：故数列从第二项起是公差为2的等差数列..........................6分，而构成等比数列，，解得，又，，...........................................8分（3）,...............................12分

19.联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%?（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（Ⅱ）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万，∴x=2010，P==105，∴W≈142．令≥142，∴0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∴未来该地区的人口总数不可能突破142万；（Ⅰ）∵该地区2013年恰好进入老龄化社会，∴10×[1+k%?（2013﹣2010）]=10%×，∴k%≈，∴x=2040，L（2040）≈10×[1+?（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．20.如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F为EB的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点G，连结FG，GC，由三角形中位线定理可得FG∥AE，，结合已知DC∥AE，，可得四边形DCGF为平行四边形，得到FD∥GC，由线面平行的判定可得FD∥平面ABC；（2）由线面垂直的性质可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC为等边三角形，得CG⊥AB，结合线面垂直的判定可得CG⊥平面EAB，再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．【解答】（1）证明：取AB的中点G，连结FG，GC，∵在△EAB中，FG∥AE，，∵DC∥AE，，∴DC∥FG，FG=DC，∴四边形DCGF为平行四边形，则FD∥GC，又∵FD?平面ABC，GC?平面ABC，∴FD∥平面ABC；（2）证明：∵EA⊥面ABC，CG?平面ABC，∴EA⊥GC，∵△ABC为等边三角形，∴CG⊥AB，又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB，又∵FD?面BDE，∴面BDE⊥面EAB．21.已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t?sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【分析】（1）利用x的范围确定sin（2x﹣），对函数解析式化简整理，对t进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的g（t）的解析式，最后综合．（2）根据（1）中获得当时g（t）的解析式，令h（t）=g（t）﹣kt，要使g（t）=kt有一个实根需h（﹣）和h（1）异号即可．【解答】解：（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6