广东省清远市英德英德中学高三数学文上学期期末试题含解析

广东省清远市英德英德中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（

）A. B. C. D.12π参考答案：C【分析】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得。【详解】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球是以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为，半径为，所以三棱锥的外接球体积为，故选C。【点睛】本题主要考查通过三视图还原几何体，以及三棱锥的外接球的体积计算，意在考查学生的直观想象和数学计算能力。3.若,则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：4.已知，若恒成立，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：5.设实数满足约束条件，则的最小值为A.

B.10

C.8

D.5参考答案：B作出可行域，如图所示，因为表示区域内的点到原点距离的平方，由图知，.故选B.6.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(

).A.3

B.4

C.5

D.6

参考答案：B7.双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则rn=

A．

B．

C．2

D．4参考答案：D略8.若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间上单调递增的是（

）A．B．C．D．参考答案：D9.其几何体的三视图如图所示(单位：),则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由题设中提供的三视图可以看出该几何体是棱长为的正方体挖去一个正四棱锥剩余的几何体,其体积,故应选C.考点：三视图的理解与识读.10.已知，，与的夹角为，那么等于（）A．2 B．6 C． D．12参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出（4﹣）2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，（4﹣）2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．故选：C．【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题，若为假命题，则的取值范围是参考答案：【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】若为假命题，则p为真命题。

设若对，

则

故答案为：12.函数在区间上的零点的个数为

参考答案：513.若实常数，则不等式的解集为

．参考答案：14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.参考答案：15.计算参考答案：116.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a+b|=|a-2b|，则β-α=_____________.参考答案：略17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长为____________．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2016年9月20日在乌鲁木齐隆重开幕的第五届中国﹣亚欧博览会，其展览规模为历届之最．按照日程安排，22日至25日为公众开放日．某农产品经销商决定在公众开放日开始每天以50元购进农产品若干件，以80元一件销售；若供大于求，剩余农产品当天以40元一件全部退回；若供不应求，则立即从其他地方以60元一件调剂．（1）若农产品经销商一天购进农产品5件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（2）农产品经销商记录了30天农产品的日需求量n（单位：件）整理得表：日需求量34567频数231564若农产品经销商一天购进5件农产品，以30天记录的各需求量发生的频率作为概率，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5﹣n）×（﹣10），当n＞5时，y=30×5+（n﹣5）×20．化简整理即可得出．（2）由已知可得：日需求量为3，频数为2天，利润为70．日需求量为4，频数为3天，利润为110．日需求量为5，频数为15天，利润为150．日需求量为6，频数为6天，利润为170．日需求量为7，频数为4天，利润为190．∴X的取值为70，110，150，170，190．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）当1≤n≤5时，y=30n+（5﹣n）×（﹣10）=40n﹣50．当n＞5时，y=30×5+（n﹣5）×20=50+20n．∴函数解析式为y=．（2）由已知可得：日需求量为3，频数为2天，利润为70．日需求量为4，频数为3天，利润为110．日需求量为5，频数为15天，利润为150．日需求量为6，频数为6天，利润为170．日需求量为7，频数为4天，利润为190．∴X的取值为70，110，150，170，190．P（X=70）=，P（X=110）=，P（X=150）=，P（X=170）=，P（X=190）=．可得X的分布列：X70110150170190P∴EX=70×+110×+150×+170×+190×=150．【点评】本题考查了分段函数、频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.学校要建一个面积为的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为和的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。参考答案：设游泳池的长为，则游泳池的宽为,

又设占地面积为，依题意，得当且仅当,即时,取“=”.答：游泳池的长为,宽为时，占地面积最小为64820.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由．参考答案：【知识点】数列递推式；等差关系的确定．D1D2【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）λ＝4.解析：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1．………………1分两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．

………………2分由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………4分（Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．………………6分由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4．

………………6分故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；………………8分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．………………10分所以an＝2n－1，an＋1－an＝2．因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………12分【思路点拨】（Ⅰ）利用anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1，相减即可得出；

（Ⅱ）先由题设可得a2＝λ－1，由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1，解得λ＝4，然后判断即可.21.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，

.（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；(2)若⊥，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积参考答案：证明：（1）m//n,asinA=bsinB即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形解（2）由题意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0由余弦定理可知，22.（本小题满分12分）已知抛物线（Ⅰ）若P为直