2018届高三数学第83练推理与证明练习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精第83练推理与证明训练目标(1）会应用合情推理、演绎推理进行判断推理；（2）会用综合法、分析法、反证法进行推理证明．训练题型（1）推理过程的判定；（2）合情推理、演绎推理的应用;（3）证明方法的应用．解题策略（1）应用合情推理时,找准变化规律及问题实质，借助定义、性质、公式进行类比归纳；（2)用分析法证明时，要注意书写格式，执果索因逐步递推；(3)用反证法证明时，对所要证明的结论的否定性假设要具有全面性，防止片面性.一、选择题1．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x),如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0,所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中（)A．小前提错误 B．大前提错误C．推理形式错误 D．结论正确2．已知数列｛an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*）,则am＋n＝eq\f（nb－ma，n－m）.类比上述结论,对于等比数列{bn}（bn〉0,n∈N＊),若bm＝c，bn＝d(n－m≥2,m,n∈N＊），则可以得到bm＋n等于()A。eq\r(n－m，\f(dm,cn）) B。eq\r（m－n，\f（dm，cn）)C.eq\r（n－m,\f(dn,cm）) D。eq\r(m－n,\f(dn，cm))3．(2016·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n〉1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an,则eq\f（9,a2a3)＋eq\f（9,a3a4)＋eq\f（9，a4a5)＋…＋eq\f(9,a2015a2016)等于(）A。eq\f（2012,2013） B.eq\f（2013,2012)C.eq\f(2014，2015) D。eq\f(2014，2013）4．(2016·银川二模)将正整数排列如下图：12345678910111213141516…则图中数2016出现在()A．第44行第81列 B．第45行第81列C．第44行第80列 D．第45行第80列5．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a,b，c中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是(）A．假设a,b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a,b,c至多有一个是偶数D．假设a，b,c至多有两个是偶数6．（2016·湖南六校联考）对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为(－1，2），解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c〉0的解集为(－1,2），得a（－x）2＋b(－x)＋c>0的解集为（－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1)．思考上述解法，若关于x的不等式eq\f（k,x＋a)＋eq\f(x＋b,x＋c)<0的解集为（－1，－eq\f(1，3））∪（eq\f(1,2），1），则关于x的不等式eq\f(kx,ax＋1)＋eq\f(bx＋1，cx＋1）〈0的解集为()A．(－3，－1)∪(1,2) B．(1，2）C．(－1,2) D．(－3,2）7．设等差数列｛an}的前n项和为Sn，若存在正整数m，n（m<n),使得Sm＝Sn，则Sm＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列｛bn}的前n项积为Tn,若存在正整数m，n(m<n)，使得Tm＝Tn，则Tm＋n等于()A．0 B．1C．m＋n D．mn8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（)A．S2＝Seq\o\al(2,1）＋Seq\o\al(2,2）＋Seq\o\al(2,3） B．S2＝eq\f（1,S\o\al(2，1））＋eq\f(1，S\o\al(2,2））＋eq\f（1,S\o\al(2,3)）C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝eq\f（1,S1)＋eq\f（1,S2)＋eq\f(1,S3）二、填空题9．设数列{an｝的首项a1＝eq\f(3,2)，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*),则满足eq\f（18,17)<eq\f(S2n，Sn)〈eq\f(8，7)的所有n的和为________．10．（2016·武昌调研)如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分;画3条线段,将圆最多分割成7部分；画4条线段,将圆最多分割成11部分．则（1)在圆内画5条线段，将圆最多分割成________部分;（2)在圆内画n条线段,将圆最多分割成________部分．11．（2016·开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a,x＝a＋1（a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2<∫a＋1ax2dx<（a＋1)2。运用类比推理，若对∀n∈N*，eq\f(1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，2n)〈A〈eq\f（1，n）＋eq\f(1，n＋1）＋…＋eq\f（1，2n－1）恒成立，则实数A＝________.12．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝,第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形,第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形,第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形，依此推断：(1）第6件首饰上应有________颗珠宝;(2)前n(n∈N＊)件首饰所用珠宝总颗数为________．(结果用n表示)

答案精析1．B[大前提:如果f′(x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，错误．]2．C［观察｛an｝的性质：am＋n＝eq\f（nb－ma,n－m），则联想nb－ma对应等比数列{bn｝中的eq\f(dn，cm），而{an｝中除以(n－m）对应等比数列中开(n－m)次方，故bm＋n＝eq\r（n－m,\f（dn,cm））.］3．C［每条边有n个点，所以3条边有3n个点,三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么eq\f（9，anan＋1)＝eq\f（9，（3n－3)×3n）＝eq\f（1,(n－1）n)＝eq\f(1，n－1）－eq\f（1，n),即eq\f（9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f（9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2015a2016)＝(eq\f（1，1）－eq\f(1，2））＋(eq\f(1，2）－eq\f（1,3）)＋（eq\f(1,3）－eq\f(1，4)）＋…＋（eq\f(1,2014）－eq\f(1,2015））＝1－eq\f（1,2015)＝eq\f(2014，2015），故选C.］4．D［由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2，因为442＝1936，452＝2025,且1936<2016〈2025，所以2016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数,2016－1936＝80，故2016在第45行第80列．故选D。］5．B[至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数．］6．A[由关于x的不等式eq\f（k，x＋a）＋eq\f(x＋b,x＋c)〈0的解集为(－1，－eq\f(1，3))∪（eq\f（1,2）,1)，得eq\f(k，\f(1，x)＋a)＋eq\f(\f(1，x)＋b,\f（1,x)＋c）<0的解集为(－3,－1)∪(1，2），即关于x的不等式eq\f（kx,ax＋1）＋eq\f（bx＋1，cx＋1)<0的解集为(－3,－1）∪（1，2）．］7．B［因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，从而bm＋1bn＝1,Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1·bn＋m＝（b1bn＋m)·（b2bn＋m－1）…(bmbn＋1)·（bm＋1bn）…＝1.］8．A［如图，作OD⊥BC于点D,连接AD,由立体几何知识知,AD⊥BC，从而S2＝(eq\f（1,2）BC·AD）2＝eq\f(1,4)BC2·AD2＝eq\f(1，4)BC2·（OA2＋OD2）＝eq\f（1,4)(OB2＋OC2)·OA2＋eq\f(1,4）BC2·OD2＝（eq\f（1，2）OB·OA）2＋(eq\f（1，2）OC·OA)2＋（eq\f（1,2）BC·OD)2＝Seq\o\al（2，1)＋Seq\o\al（2，2）＋Seq\o\al（2，3).］9．7解析由2an＋1＋Sn＝3，得2an＋Sn－1＝3（n≥2)，两式相减,得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1＝an（n≥2），即eq\f（an＋1,an）＝eq\f(1,2)(n≥2），由已知求出a2＝eq\f(3,4)，易得eq\f（a2，a1)＝eq\f(1，2），所以数列{an}是首项为a1＝eq\f(3，2），公比为q＝eq\f（1，2）的等比数列，所以Sn＝eq\f（\f(3,2）[1－（\f（1,2）)n］，1－\f(1，2))＝3［1－(eq\f(1，2）)n］，S2n＝3［1－（eq\f(1，2)）2n］，代入eq\f（18，17)〈eq\f（S2n，Sn)〈eq\f(8,7)，可得eq\f（1,17）〈（eq\f(1，2））n<eq\f(1，7）,解得n＝3或4,所以所有n的和为7.10．(1）16(2)1＋eq\f(n?n＋1？，2）解析（1)设在圆内画n条线段将圆最多可分成an部分,则a1＝2，a2＝4，a3＝7，a4＝11，所以a5＝a4＋5＝11＋5＝16，即在圆内画5条线段，将圆最多分割成16部分．(2）因为an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1,…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，所以将上述式子累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，则an＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋eq\f（n（n＋1）,2)，n≥2，显然当n＝1时上式也成立，故在圆内画n条线段将圆最多可分割成1＋eq\f（n（n＋1），2)部分．11．ln2解析令eq\f（1,n＋1）〈A1<eq\f（1,n），eq\f（1，n＋2)〈A2<eq\f（1，n＋1)，…，eq\f(1，2n)〈An<eq\f(1，2n－1),依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn,A2＝dx＝ln（n＋2)－ln（n＋1）,…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1）－lnn＋ln（n＋2)－ln（n＋1）＋…＋ln(2n)－ln（2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.12．（1)66（2）eq\f(n（n＋1)(4n－1),6),n∈N*解析(1)设第n件首饰上的珠宝颗数为an，则a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，∴猜想an－an－1＝4（n－1）＋1＝4n－3,∴推断a6＝a5＋4×5＋1＝66.（2)由(1）知an－an－1＝4n－3，则an－1－an－2＝4(n－1)－3，…,a2－a1＝4×2－3,以上各式相加得an－a1＝4（n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)＝