2018届高三数学第55练空间角与距离练习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE14学必求其心得，业必贵于专精第55练空间角与距离训练目标（1)会求线面角、二面角;（2）会解决简单的距离问题．训练题型（1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离．解题策略利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的投影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（A.eq\f（\r（3），4) B.eq\f(\r（5),4)C。eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f(9，4)，底面是边长为eq\r(3）的正三角形．若P为△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（)A。eq\f(π,6) B.eq\f(π，3）C。eq\f（π,4) D.eq\f(2,3）π3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a,∠ABC＝120°，SA＝3a,且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为(A.eq\f（3a,2) B。eq\f(a，2）C.eq\f（5a,2） D.eq\f（7a，2）二、填空题4.如图,在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为________．5.如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC＝1，SA＝eq\f（\r（3)，2），则二面角S－BC－A的大小为________．6．如图,在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1①异面直线C1P与B1C②二面角P－BC1－D的大小为定值；③三棱锥D－BPC1的体积为定值；④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．其中真命题的个数为________．三、解答题7.(2016·潍坊模拟）如图所示，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，设F为EB（1）求证：DF∥平面ABC;(2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．8.(2016·辽宁沈阳二中月考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝eq\f（2，3)AB，PO⊥平面ABC,DA∥PO，DA＝AO＝eq\f（1，2）PO.（1)求证：PB∥平面COD；(2)求二面角O－CD－A的余弦值．9。如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F,G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(1）求证：EP⊥AC；(2)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．

答案精析D[连接A1B，易知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角，设AB＝a，易求得AD＝eq\f（\r（3）,2)a，A1D＝eq\f（a，2)，则A1B＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a，2))）2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a，2)))2)＝eq\f(\r(2)，2)a，故cos∠A1AB＝eq\f（a2＋a2－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2）a））2，2·a·a)＝eq\f（3，4).]2．B［因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成的角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为eq\f（9，4),底面三角形的边长为eq\r（3)，所以S△ABC·AA1＝eq\f（9,4），可得AA1＝eq\r（3）。又易知A1P＝1,所以tan∠APA1＝eq\f（AA1，A1P)＝eq\r(3)，又直线与平面所成的角属于[0，eq\f（π，2）］，所以∠APA1＝eq\f(π,3).]3．A［作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示．∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,∴SA⊥BC。又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD,又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD,且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a,AD＝AB·sin60°＝eq\r(3)a.由eq\f(AH，SA）＝eq\f(AD,SD)，得AH＝eq\f（SA·AD,SD)＝eq\f(SA·AD,\r(SA2＋AD2)）＝eq\f(3a，2)，即点A到平面SBC的距离为eq\f(3a,2）。］4．45°解析取BD的中点F，连接EF,AF（图略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝eq\f(1，2)CD＝eq\f（1，2）BD＝AF，所以∠AEF＝45°,即AE与平面BCD所成的角为45°。5．60°6．4解析对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P在线段AD1在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；对于②，因为二面角P－BC1－D为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面,所以夹角也为定值,故②正确；对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1面积一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面BDC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1平面BCC1B1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值,故④正确．综上知，真命题的个数为4。7．(1)证明如图，过点F作FH∥EA交AB于点H，连接HC。∵EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC，∴EA∥DC。又FH∥EA，∴FH∥DC。∵F是EB的中点，∴FH＝eq\f（1，2）AE＝DC。∴四边形CDFH是平行四边形，∴DF∥CH。又CH⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)解∵△ABC为正三角形，H为AB的中点，∴CH⊥AB。∵EA⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，∴CH⊥EA.又EA∩AB＝A，EA⊂平面AEB，AB⊂平面AEB，∴CH⊥平面AEB.∵DF∥CH，∴DF⊥平面AEB,∴AF为DA在平面AEB上的投影,∴∠DAF为直线AD与平面AEB所成的角．在Rt△AFD中，AD＝eq\r(5）a，DF＝eq\r（3）a，sin∠DAF＝eq\f(DF，AD）＝eq\f(\r(15），5）,∴直线AD与平面AEB所成角的正弦值为eq\f（\r(15)，5)。8．(1)证明因为PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB⊂平面ABC,所以PO⊥AB，DA⊥AB。又DA＝AO＝eq\f(1,2)PO，所以∠AOD＝45°.因为OB＝eq\f(2，3）AB，所以OA＝eq\f(1，3)AB，所以OA＝eq\f（1，2)OB，又AO＝eq\f(1,2)PO，所以OB＝OP，所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.又PB⊄平面COD，OD⊂平面COD，所以PB∥平面COD.(2）解如图，过A作AM⊥DO，垂足为M，过M作MN⊥CD于N，连接AN,则∠ANM为二面角O－CD－A的平面角．设AD＝a,在等腰直角三角形AOD中，得AM＝eq\f（\r（2），2)a,在直角三角形COD中,得MN＝eq\f(\r（3）,3)a，在直角三角形AMN中,得AN＝eq\f(\r（30），6）a,所以cos∠ANM＝eq\f(\r(10）,5）。9．(1)证明设AC交BD于O点，∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，又AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O,BD⊂平面SBD,SO⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD,∵E,F，G分别为BC，SC，CD的中点，∴FG∥SD,BD∥EG。又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，SD⊂BSD，BD⊂平面BSD，∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF.又∵PE⊂平面GEF，∴PE⊥AC。(2）解过B作BH⊥GE于H，连接PH,∵BD⊥AC,BD∥GH,∴BH∥AC，由(1）知AC⊥平面GEF，则BH⊥平面GEF。∴∠BPH就是直线BP与平面EF