2017-2018学年高中数学4-4练习1.1.1平面直角坐标系与曲线方程含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章DIYIZHANG坐标系§1平面直角坐标系1。1平面直角坐标系与曲线方程课后篇巩固探究A组1。已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(—1,2)，（3，0)，(5,1),则点D的坐标是(）A。(9，-1） B.（—3,1)C.（1，3) D。（2,2）解析:设点D的坐标为(x,y)。则-1+5=3+x故点D的坐标为(1,3）.答案：C2。已知△ABC中,A(4,-3)，B（5，-2）,重心G（2，—1)，则点C的坐标为（）A.(-3,2） B。(3，-2)C.(2,-3) D.（—2，3）解析：设点C(x，y）,线段AB的中点D92依题意得GC=2DG，即（x-2,y+1）=22-得x-2=故C（—3,2)为所求.答案:A3。方程(x2—4)2+（y2-4）2=0表示的图形是（）A。两条直线 B.四条直线C.两个点 D.四个点解析:由方程得x2-4=0,答案：D4。将圆x2+y2-2x—4y+1=0平分的直线是（)A。x+y-1=0 B。x+y+3=0C。x—y+1=0 D。x—y+3=0解析:因为（x-1）2+(y-2)2=4,所以圆心是（1,2），将圆心坐标代入各选项验证知选C.答案：C5.平面上有三个点A(-2，y)，B0,y2,C(x,y),若AB⊥BC解析:AB=0,y2-（-2，y）=2,-y2,BC=（x,y）-∴2,-y2·x,y∴动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x6.在平面直角坐标系中,已知点A为平面内的一个动点,点B的坐标为（2,0).若OA·BA=｜OB｜（O为坐标原点）,则动点A的轨迹为解析:设动点A的坐标为(x,y）,则OA=（x,y），BA=（x-2，y),|OB｜=22+0=代入已知条件得x(x—2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3，它表示一个圆。答案:圆7。已知真命题：若点A为☉O内一定点，点B为☉O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以点O，A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题：若点A为☉O外一定点，点B为☉O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是。

解析：如图,连接AP,因为P是线段AB的垂直平分线上一点,所以｜PA|=|PB｜.因此｜|PA｜—|PO||=||PB|—｜PO｜｜=|OB|=R=定值,其中R为☉O的半径。由于点A在圆外,故|｜PA|-｜PO||=｜OB｜=R<|OA|,故动点P的轨迹是以O，A为焦点,OB为实轴长的双曲线.答案:以点O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线8。关于x的一元二次方程x2—ax+b=0的两根为sinθ,cosθ，求点P(a，b)的轨迹方程其中|解由已知可得a令①2—2×②得a2=2b+1.∵a=sinθ+cosθ=2sinθ+π4,｜θ｜∴0≤a≤2。由sinθ·cosθ=12sin2θ,知|b|≤1∴点P(a，b)的轨迹方程是a2=2b+1（0≤a≤2）。9。导学号73144002已知定点F（0,1)和直线l1：y=—1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1）求动点C的轨迹方程;（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求RP·RQ解（1）由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，则点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线.故动点C的轨迹方程为x2=4y。（2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1（k≠0）,与抛物线方程x2=4y联立消去y,得x2-4kx—4=0。设P（x1，y1）,Q(x2,y2），则x1+x2=4k,x1x2=—4.又易得点R的坐标为-2则RP=x1+2kx2+2k+=（1+k2)x1x2+2k+2k（x1+x2）+=-4（1+k2)+4k2k+2=4k2+1∵k2+1k2≥2,当且仅当k2∴RP·RQ≥4×2+8即RP·RQB组1.△ABC的顶点A（—5，0)，B（5，0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是（)A.x29-y2C。x29-y216=1(x>解析:如图,｜AD｜=|AE|=8，|BF｜=|BE|=2,|CD｜=|CF|,所以｜CA|—｜CB｜=|AD|—｜BF｜=8—2=6。根据双曲线定义，所求轨迹是以点A,B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29-y2答案：C2。已知椭圆的焦点是F1,F2，点P是椭圆上的一个动点.若点M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是（）A。圆 B.椭圆C。双曲线的一支 D.抛物线解析：如图,设椭圆的方程为x2a2+y则|PF1｜+｜PF2｜=2a，连接MO,由三角形的中位线可得,｜F1M｜+｜MO｜=a(a〉｜F1O｜)，则动点M的轨迹是以点F1，O为焦点的椭圆。故选B。答案：B3。设圆(x+1）2+y2=25的圆心为C,点A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为()A。4x221-4C。4x225-4解析：∵点M为AQ垂直平分线上一点，∴｜AM|=｜MQ|，∴｜MC|+｜MA|=|MC|+｜MQ｜=|CQ｜=5>｜CA|=2，故点M的轨迹为椭圆。∴a=52，c=1,则b2=a2—c2=21∴椭圆的标准方程为4x225答案：D4。已知两条直线l1为2x—3y+2=0,l2为3x—2y+3=0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1，l2都相交，且l1，l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则动圆圆心的轨迹方程是.

解析:设动圆的圆心为M（x，y),半径为r，点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2。由弦心距、半径、半弦长间的关系得,2消去r得动点M满足的几何关系为d22即(3x-化简得（x+1）2-y2=65,此即为所求的动圆圆心的轨迹方程.答案：（x+1）2-y2=655.已知双曲线x22—y2=1的左、右顶点分别为A1，A2,点P（x1，y1）,Q(x1，-y1（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值。解（1）由题设知|x1｜>2，A1(-2，0)，A2(2,0)，则直线A1P的方程为y=y1x1+2（直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(联立①②解得交点坐标为x=2x1，y=即x1=2x,y1=2yx则x≠0,｜x|〈2。而点P（x1，y1)在双曲线x22-y2=1上，得x1将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±(2)设过点H（0,h)的直线为y=kx+h(h>1）,联立x22+y2=1与y=kx+h(得(1+2k2）x2+4khx+2h2-2=0.令Δ=16k2h2—4（1+2k2)(2h2-2）=0,得h2—1—2k2=0，解得k1=h2-12,k由于l1⊥l2，则k1k2=-h2-12=-过点A1，A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H（0，h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由h2×-h2此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=—x+2,它们与轨迹E分别仅有一个交点-2所以，符合条件的h的值为3或6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行（按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0,647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为（1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.（2）试问：当航天器在x轴上方时,观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？解(1）由题意，可设曲线方程为y=ax2+647，将点D（8，0)的坐标代入，得0=a·64+647，解得a=-故所求曲线方程为y=—17x2+64(2)设变轨点为C（x，y）.根据题意可知x消去x得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-94于是x=6或x=—6（舍去)，故点C的坐标为(6，4)。应用两点间距离公式计算，得｜AC|=25，｜BC|=4。故当观测点A，B测得离航天器的距离分别为25,4时,应向航天器发出变轨指令。7.导学号73144003设椭圆方程为x2+y24=1，过点M(0,1）的直线l交椭圆于A，B两点,O为坐标原点,点P满足OP=12(OA+OB),点（1)动点P的轨迹方程;（2）｜NP|的最大值和最小值.解（1）直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A（x1,y1)，B(x2,y2）,由题意知，A，B的坐标满足方程组y消去y得(4+k2)x2+2kx—3=0.则Δ=4k2+12(4+k2)〉0,x1+x2=-2k4+k2,x1x由OP=12(OA+设P(x，y),则x消去k得4x2+y2-y=0.当斜率k不存在时,A