数列的综合应用含解析

数列的综合应用m11．(2019·深圳模拟)设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列fn(n∈N*)的前n项和是()nn＋2A.＋1B．＋1nnn＋1C.n－1D．n解析：选A∵fm－1′(x)＝mx＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，1111111∴f(x)＝x(x＋1)，则n＝n＋＝－n＋1，用裂项法求和得Sn＝1－2＋2－3fnn11n＋⋯＋－n＋1＝.nn＋12．已知函数f(n)＝n2，n为奇数，且an＝()＋(＋1)，则a1＋2＋3＋⋯＋－n2，n为偶数，2fnfnaaa018＝()A．－2017B．－2018C．2017D．2018解析：选D当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(＋1)2＝－2－1，所以1＋3nnaa＋a＋⋯＋a＝－(3＋7＋11＋⋯＋4035)．当n为偶数时，n＋1为奇数，则a2n52017n(n＋1)＝2n＋1，所以a＋a＋a＋⋯＋a2018＝5＋9＋13＋⋯＋4037.所以a＋a＋a＋⋯＋2246123a2018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋⋯＋(4037－4035)＝2×1009＝2018，故选D.3．(2017·四川乐山模拟)对于数列{an}，定义a1＋2a2＋⋯＋2n－1anH0＝n为{an}的“优值”．现已知某数列的“优值”0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为n，则n的最小值HSS为()A．－64B．－68C．－70D．－72n－1解析：选 D由题意可知：H0＝a1＋2a2＋⋯＋2an＝2n＋1，n则a＋2a＋⋯＋2n－1n＋112n当n≥2时，a1＋22＋⋯＋2n－2·n－1＝(n－1)·2n，aa两式相减得n－1n＋1n，2·an＝n·2－(n－1)·2，an＝2(n＋1)当n＝1时成立，∴an－20＝2n－18，显然{an－20}为等差数列．令an－20≤0，解得n≤9，故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值，1最小值为S8＝S9＝－16＋＝－72，故选D.24．(2019·湖北襄阳联考)已知函数fx＋1为奇函数，(x)＝(x)＋1，若n＝n，2gfag2019则数列{an}的前2018项和为()A．2017B．2018C．2019D．2020解析：选B∵函数f1为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴函数f(x)的图象关x＋2于点1，0对称，∴函数(x)＝(x)＋1的图象关于点1对称，∴()＋(1－x)＝2，，12gf2gxgn1232017∵an＝g2019，∴数列的前2018项之和为g2019＋g2019＋g2019＋⋯＋g2019018g2019＝2018.故选B.5．(2019·林州一中调研)已知数列{an}的前n项和为n，且1＝5，n＋1＝－1n＋6，Saa2a若对任意的n∈N*,1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，则实数p的取值范围为()A．(2,3]B．[2,3]C．(2,4]D．[2,4]解析：选B由数列的递推关系式可得an＋1－4＝－21(an－4)，则数列{an－4}是首项为14＝1，公比为－1n－1n－1n＝－1n－1n2a－的等比数列，∴a－4＝1×2，∴a2＋4，∴S＝231－－1nn2－1n2＋4n，∴不等式1≤p(S－4n)≤3恒成立，即1≤p×31－2≤3恒成立．当21n921nn为偶数时，可得1≤p×31－2≤3，可得2≤p≤2，当n为奇数时，可得1≤p×31＋23≤p≤3，故实数p的取值范围为[2,3]．≤3，可得26．(2019·昆明适应性检测)已知数列{a}的前n项和为S，且a＝4n，若不等式S＋nnnn8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*恒成立，即2n2＋2n＋82n2＋2n＋88λ≤n，又n＝2n＋n＋2≥10(当且仅当n＝2时取等号)，所以实数λ的取值范围为(－∞，10]．答案：(－∞，10]7．(2019·济宁模拟)若数列{n}满足：只要ap＝q(，∈N*)，必有p＋1＝aq＋1，那么aapqa2就称数列{an}具有性质 P.已知数列{an}具有性质 P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7a8＝21，则a2020＝____________.解析：根据题意，数列 {an}具有性质 P，且a2＝a5＝2，则有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，则a4＝21－3－2＝16，进而分析可得a3＝a6＝a9＝⋯＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝⋯＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝⋯＝a3n＋22(n≥1)，则a2020＝a3×673＋1＝16.答案：168．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a1＝3，公比为1的等比数列{an}，设其前n项2和为An；莞草的高度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An3111－nn31－nnn6＝2，B＝2－122－1*nn，令＝，化简得2＋n＝7(∈N)，解得2＝6，所以1n2－112－121－21－2lg6lg3＝lg2＝1＋lg2≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．答案：39．(2019·安阳模拟 )设等差数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的图象上，且 a1＝C.求数列{an}的通项公式；记数列bn＝an(a2n－1＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，n n－ d2 d则Sn＝na1＋ 2 d＝2n＋a1－2n.又Sn＝n2＋Bn＋C－1，两式比较得d＝1，B＝a1－d，C－1＝0.又a1＝C，2 23解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n，23n∴数列{bn}的前n项和Tn＝2＋3×2＋5×2＋⋯＋(2n－1)×2，23nn＋1，∴2n＝2＋3×2＋⋯＋(2－3)×2＋(2－1)×2Tnnn23nn＋1∴－T＝2＋2×(2＋2＋⋯＋2)－(2n－1)×2＝2＋2×n－1－n＋1n＋1－6，2－1－(2n－1)×2＝(3－2n)×2故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6.10．2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行， 新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，准备购买某新能源汽车．假设购车费用为 14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共 0.9 万元，汽车的保养维修费为：第一年 0.2 万元，第二年 0.4万元，第三年 0.6万元，⋯，依等差数列逐年递增．设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？解：(1)由题意得f()＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋⋯＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋n0.2nn＋＋0.9＝0.12＋＋14.4.2nnn设该车的年平均费用为S万元，则有＝1(n)＝1(0.12＋＋14.4)＝n＋14.4＋1≥21.44＋1＝3.4.Snfnnn10nn14.4当且仅当10＝n，即n＝12时，等号成立，即S取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．1111．(2018·淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝6－3x的图象上(n*∈N)．求数列{an}的通项公式；(2)若c＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－c＝log1a.求证：对任意正整数n≥2，总1nn211＋1113.有≤＋＋⋯＋<3c2c3c4cn41 1解：(1)∵Sn＝－an，1∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an－1－3an，41∴an＝4an－1.1 1 1又∵S1＝6－3a1，∴a1＝8，11n－112n＋1∴an＝8×4＝2.1证明：由cn＋1－cn＝log2an＝2n＋1，得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(