2018届数学二轮复习寒假作业（二十三）不等式选讲（注意解题的准度）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE5学必求其心得，业必贵于专精寒假作业（二十三）选修4－5不等式选讲(注意解题的准度)1．(2018届高三·广东五校联考）已知函数f（x)＝|x－a|.(1）若a＝1，解不等式：f（x)≥4－｜x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2］，eq\f（1,m）＋eq\f（1,2n）＝a（m>0,n>0)，求mn的最小值．解:(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－｜x－1|，即｜x－1|≥2，∴x－1≥2或x－1≤－2，即x≥3或x≤－1，∴原不等式的解集为(－∞,－1］∪［3，＋∞)．（2)f(x）≤1⇔｜x－a|≤1⇔－1≤x－a≤1⇔a－1≤x≤a＋1，∵f（x)≤1的解集为[0，2],∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a－1＝0,，a＋1＝2，）)得a＝1.∴eq\f(1，m)＋eq\f（1,2n)＝1≥2eq\r（\f（1，2mn））（m〉0，n〉0），∴mn≥2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(当且仅当\f（1,m)＝\f(1，2n）＝\f(1,2）,即m＝2，n＝1时取等号））.∴mn的最小值为2.2．已知a，b,c，d均为正数，且ad＝bc.(1)证明：若a＋d>b＋c，则｜a－d｜>|b－c|；(2）若t·eq\r(a2＋b2）·eq\r（c2＋d2)＝eq\r（a4＋c4)＋eq\r(b4＋d4)，求实数t的取值范围．解:(1）证明:由a＋d〉b＋c,且a,b，c,d均为正数，得(a＋d)2〉(b＋c)2，又ad＝bc，所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d｜〉｜b－c|.(2）因为（a2＋b2）（c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd所以t·eq\r（a2＋b2)·eq\r（c2＋d2)＝t(ac＋bd)．由于eq\r（a4＋c4）≥eq\r（2）ac，eq\r（b4＋d4)≥eq\r（2)bd，又已知t·eq\r(a2＋b2)·eq\r（c2＋d2）＝eq\r（a4＋c4）＋eq\r(b4＋d4）,则t（ac＋bd）≥eq\r（2)（ac＋bd），故t≥eq\r（2），当且仅当a＝c,b＝d时取等号．所以实数t的取值范围为［eq\r(2)，＋∞)．3．(2017·南昌模拟)已知函数f(x）＝｜2x－a|＋|x－1|，a∈R。（1)若不等式f（x)≤2－|x－1｜有解，求实数a的取值范围;（2)当a<2时,函数f(x）的最小值为3，求实数a的值．解：(1）由f(x）≤2－｜x－1｜，可得eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(x－\f（a，2））)＋｜x－1|≤1。而由绝对值的几何意义知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（x－\f（a,2)））＋|x－1|≥eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（a，2)－1))，由不等式f（x)≤2－|x－1｜有解，得eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f(a,2）－1)）≤1，即0≤a≤4。故实数a的取值范围是[0,4]．(2）函数f(x)＝|2x－a｜＋｜x－1｜，当a〈2，即eq\f(a，2）〈1时，f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－3x＋a＋1，x〈\f（a,2)，，x－a＋1，\f(a，2)≤x≤1，,3x－a－1，x〉1.）)所以f（x）min＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2))）＝－eq\f(a,2）＋1＝3,得a＝－4〈2（符合题意），故a＝－4.4．(2017·洛阳统考）已知f(x）＝|2x－1|－|x＋1｜.(1)将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2）若a＋b＝1，对∀a，b∈(0，＋∞),eq\f(1,a）＋eq\f(4,b）≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．解：（1)由已知，得f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－x＋2，x〈－1,,－3x，－1≤x≤\f（1,2)，，x－2，x>\f（1，2),))函数f（x)的图象如图所示．(2）∵a，b∈（0，＋∞)，且a＋b＝1，∴eq\f(1，a)＋eq\f（4,b）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,a)＋\f(4,b）)）（a＋b)＝5＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（b，a)＋\f（4a,b)))≥5＋2eq\r（\f（b，a)·\f（4a,b））＝9，当且仅当eq\f(b，a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,3），b＝eq\f（2，3）时等号成立．∵eq\f(1，a)＋eq\f（4，b）≥3（|2x－1｜－｜x＋1｜）恒成立，∴｜2x－1|－｜x＋1｜≤3，结