广东省深圳市华侨城中学2023年高三数学理模拟试题含解析

广东省深圳市华侨城中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B2.设集合，，若，则的值为

（

）A．0

B．1

C．

D．参考答案：A略3.若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A考点：利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．专题：计算题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：不等式f（x）＞+1可化为exf（x）﹣ex﹣3＞0；令F（x）=exf（x）﹣ex﹣3，从而利用导数确定函数的单调性，再由单调性求解．解答： 解：不等式f（x）＞+1可化为exf（x）﹣ex﹣3＞0；令F（x）=exf（x）﹣ex﹣3，则F′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex（f（x）+f′（x）﹣1）；∵f（x）+f′（x）＞1，∴ex（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；故F（x）=exf（x）﹣ex﹣3在R上是增函数，又∵F（0）=1×4﹣1﹣3=0；故当x＞0时，F（x）＞F（0）=0；故exf（x）﹣ex﹣3＞0的解集为（0，+∞）；即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；故选A．点评：本题考查了不等式的解法及构造函数的能力，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．4.已知数列为等比数列，若，则的值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，故选C．考点：等比数列的性质．5.

执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（

）A.5

B.9

C.17

D.33参考答案：D6.设函数,若,则的值为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.有关命题的说法错误的是A.命题“若

,则”的逆否命题为：“若,则”B.“”是“”的充分不必要条件.C.若为假命题，则、均为假命题.D.对于命题：使得.则：

均有.参考答案：C略8.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（

）A．①②⑥

B．①②③ C．④⑤⑥

D．③④⑤参考答案：【知识点】简单空间图形的三视图．G2B

解析：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为③，四面体ABCD的俯视图为②，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B【思路点拨】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．9.已知中，，且的面积为，则（

）A．

B．

C．或

D．或

参考答案：D10.方程的一个根是A．

B．

C．

D．参考答案：A根据复数求根公式：，所以方程的一个根为答案为A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的侧面积是

．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的侧面积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，=1，a=，三棱锥的斜率h==，所以该正三棱锥的侧面积S=3×=．故答案为：．【点评】本题考查棱锥的侧面积的求法，考查棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是中档题．12.命题：“，使得”的否定是_________.参考答案：【分析】特称命题的否定是全称命题,改量词,否结论【详解】【点睛】本题考查特称命题的否定形式.13.若满足约束条件，则的最小值为__

__．参考答案：2画出可行域,平移直线经过点时,有最小值,最小值为.14.运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是____________。参考答案：略15.在复数范围内，方程的根是

．参考答案：因为，所以方程的根为虚根，所以。16.设向量与的夹角为，且，，则

．参考答案：17.若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共12分）如图所示，平面，平面，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

(Ⅲ)求凸多面体的体积为参考答案：（Ⅰ）作的中点，连接，，∴为三角形的中位线，∴，，……5分∴四边形为平行四边形，∴，又平面，∴平面．……7分（Ⅱ）∵，为的中点，∴，又，∴平面，

……10分∵，∴平面，又平面，∴平面平面．

……12分(Ⅲ)∵平面，平面，∴四边形为梯形，且平面平面，∵，∴，……1分∵平面平面，∴平面，即为四棱锥的高，……2分∴略19.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．参考答案：考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答： 解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB?（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.参考答案：解:（1）因为e＝＝＝，所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈[－b，b].由题设存在点P1满足|P1Q|＝3，则9＝|P1Q|2≤6＋3b2，所以b≥1.当b≥1时，由于y＝－1∈[－b，b]，此时|PQ|2取得最大值6＋3b2,所以6＋3b2＝9?b2＝1，a2＝3.故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.（2）存在点M满足要求，使△OAB的面积最大.假设直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，则圆心O到l的距离d＝<1.因为点M(m，n)∈C，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.因为|AB|＝2＝2，所以S△OAB＝·|AB|·d＝＝≤＝.上式等号成立当且仅当1＝m2?m2＝∈(0,3]，因此当m＝±，n＝±时等号成立.所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.21.设数列的前项和为，且满足,.

（Ⅰ）求通项公式；

（Ⅱ）设，求证：．参考答案：证明：（Ⅰ），．又， 是首项为，公比为的等比数列，∴．时，，时，．故．（Ⅱ）

．略22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．参考答案：（1），①设，则当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增；②设，由得或，若，则，所以在单调递增，若，则，故当时，；当时，，所以在单调递增，在单