广东省江门市邓树椿中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省江门市邓树椿中学2023年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（A）43

（B）44

（C）45

（D）46参考答案：C2.若复数满足，则复数的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（?UM）∩N C．M∩（?UN） D．（?UM）∩（?UN）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵M={3，4，5}，N={1，2，5}，∴M∩N={5}，（?UM）∩N={1，2}，M∩（?UN）={3，4}，（?UM）∩（?UN）=?，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4.在下列函数中：①，②，③，④，其中偶函数的个数是(

)

（A）0

(B)1

(C)2

(D)3参考答案：C5.设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数。当时，函数的单调递增区间为 （

） A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则?U(M∪N)＝()A．{1,2,3}

B．{5}

C．{1,3,4}

D．{2}参考答案：B7.函数的图像是由函数的图像向左平移个单位而得到的，则函数的图像与直线轴围成的封闭图形的面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：1.三角函数图像变换；2.定积分.8.已知函数，，当时，z的值为（

）A.0

B.

C.1

D.2参考答案：答案：A9.若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．10.如果执行如面的程序框图，那么输出的S=(

)A．119 B．719 C．4949 D．600参考答案：B考点：循环结构．专题：图表型．分析：先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．解：根据题意可知该循环体运行5次第一次：T=1，s=1，k=2；第二次：T=2，s=5，k=3；第三次：T=6，s=23，k=4；第四次：T=24，s=119，k=5；第五次：T=120，s=719，k=6；因为k=6＞5，结束循环，输出结果s=719．故选B．点评：本题考查循环结构．解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．参考答案：考点：1、双曲线的性质、双曲线的离心率；2、利用导数求最值及“点差法”的应用.【方法点睛】本题主要考查求双曲线的性质及双曲线的离心率、利用导数求最值及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题就是先根据点差法得到后，进一步解答的.12.若，则的值为

参考答案：，，13.设l、m、n表示条不同直线，α、β、γ表示三个不同平面，给出下列四个命题，下列选项中都是真命题的是

．①若l⊥α，m⊥α，则l//m；②若mβ，n是l在β内的射影，且m⊥l，则m⊥n；③若mα，m//n，则n//α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．参考答案：①②14.已知，，，则的大小关系为

．参考答案：15.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.参考答案：16.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=++2×=．故答案为：．17.已知函数f（x）=ex+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点．其中正确命题的序号是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：②④【考点】函数的单调性与导数的关系；命题的真假判断与应用．【分析】先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．【解答】解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex+①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函数．所以①不正确，②∵a∈（﹣∞，0），∴存在x有f′（x）=ex+=0，可以判断函数有最小值，②正确．③画出函数y=ex，y=alnx的图象，如图：显然不正确．④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有两个根，正确．故答案为：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中点，点M是⊙O上的动点（不与A，C重合）．（1）证明：AD⊥PB；（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，求面MAD与面MCD所成二面角的正弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意可证，，即可证明平面，从而证得：；（2）以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，表示出各点坐标，求出平面MAD的法向量与平面MCD的法向量，利用二面角公式即可得到答案。【详解】（1）证明：∵为圆的直径，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，．∵，，∴，又，∴，又是的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴．（2）当三棱锥D﹣ACM体积最大时，三角形ACM的面积最大，取AC的中点E，M点为EO延长线与圆O的交点．∴DE∥AP，EM⊥AC，以E为原点，分别以EC，EM，ED为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．又∵MA＝MC＝AC＝，DE＝PA＝，ME＝3．∴M（0，3，0），D（0，0，），A（﹣，0，0），C（，0，0），∴，，，设平面MAD的法向量为，则，即，令可得，设平面MCD的法向量为，则，即，令可得，设面MAD与面MCD所成二面角为，则，∴．【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查利用空间向量法求二面角，考查学生的空间想象能力以及计算能力，属于中档题。19.长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．（1）求异面直线AC与B1D所成的角；（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用VA﹣CDE=VE﹣ADC即可得到体积．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），∴，∴，∴异面直线AC与B1D所成的角为．（2）设E（0，0，a），则，∵B1D⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴B1D⊥AE．∴，∴﹣1+2a=0，．∴VA﹣CDE=VE﹣ADC==．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．20.数列{an}，各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足.（1）求证数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使对所有的都成立的最大正整数m的值.参考答案：（1）证明见解析，；（2）3【分析】（1）由题得，即得数列为首项和公差都是的等差数列，再求出，再利用项和公式求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求出，最后解二次不等式得解.【详解】（1）证明：，当时，，整理得，，又，数列为首项和公差都是1的等差数列.，又，时，，又适合此式数列的通项公式为；（2）解：依题意有，解得，故所求最大正整数的值为3.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设是曲线上的一动点，的中点