广东省汕尾市长沙中学2021年高二数学理测试题含解析

广东省汕尾市长沙中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为直观判断两个分类变量X和Y之间是否有关系，若它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2}，通过抽样得到频数表为：

y1y2x1abx2cd则下列哪两个比值相差越大，可判断两个分类变量之间的关系应该越强（

）A．与

B．与

C.与

D．与参考答案：A2.已知函数，则f（2）=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】求出函数的导数，求出f′（2）的值，从而求出f（x）的解析式，求出f（2）的值即可．【解答】解：∵f′（x）=3f′（2）x2﹣，∴f′（2）=12f′（2）﹣，解得：f′（2）=，故f（x）=x3+，故f（2）=，故选：C．3.用反证法证明“若，则中至少有一个小于1”时，应（

）A、假设至少有一个大于1

B、假设都大于1C、假设至少有两个大于1

D、假设都不小于1参考答案：D4.复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log2|x﹣1||的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】51：函数的零点；3O：函数的图象．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=|log2|x﹣1||的图象；又f（x）=cosπx的周期为=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有ABCD4个交点，由中点坐标公式可得：xA+xD=2，xB+xC=2故所有交点的横坐标之和为4，故选B6.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （

）A．（1，1）

B．（）

C．

D．（2，4）参考答案：A略7.已知向量，且与平行，则实数的值等于(

)A．－1

B．1

C．

D．参考答案：C略8.甲、乙两人计划A、B、C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（）A．3种 B．6种 C．9种 D．12种参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】甲、乙两人从A、B、C三个景点中各选择两个游玩，总的选法有种选法，两人所选景点完全相同的选法有种，由此利用间接法能求出两人所选景点不全相同的选法．【解答】解：甲、乙两人从A、B、C三个景点中各选择两个游玩，总的选法有种选法，两人所选景点完全相同的选法有种，∴两人所选景点不全相同的选法共有﹣=6（种）．故选B．9.已知集合,则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），若⊥，则x=

．参考答案：4【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由题意可得?=﹣8﹣2+3x=0，由此解得x的值．【解答】解：∵=（﹣3，2，5），=（1，x，﹣1），⊥，∴?=0，即﹣3+2x﹣5=0，解得：x=4，故答案为：4．12.在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离

．参考答案：2略13.实数x，y满足，则的最大值是_____________.参考答案：略14.

参考答案：略15.若不等式a＞|x﹣5|﹣|x+1|对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：（6，+∞）【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】问题转化为a＞（|x﹣5|﹣|x+1|）max，根据绝对值的性质求出其最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：若不等式a＞|x﹣5|﹣|x+1|对x∈R恒成立，即a＞（|x﹣5|﹣|x+1|）max，而|x﹣5|﹣|x+1|≤|x﹣5﹣x﹣1|=6，故a＞6，故答案为：（6，+∞）．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质，考查转化思想，是一道基础题．16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________.（其中）①每个侧面都是直角三角形的四棱锥；②正四棱锥；③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥参考答案：①③④略17.函数y=|﹣x2+2x+3|的单调减区间为．参考答案：（﹣∞，﹣1]和[1，3]【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据题意化简函数y，画出函数y的图象，根据函数图象容易得出y的单调减区间．【解答】解：令﹣x2+2x+3=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3；∴函数y=f（x）=|﹣x2+2x+3|=|x2﹣2x﹣3|=，画出函数y的图象如图所示，根据函数y的图象知y的单调减区间是（﹣∞，﹣1]和[1，3]．故答案为：（﹣∞，﹣1]和[1，3]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1为幂函数，且为奇函数．(I)求m的值；(II)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．参考答案：（1）m＝0（2）试题分析：（1）根据幂函数定义得m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根据幂函数为奇函数得m＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.

解得m＝0或5

又h(x)为奇函数，∴m＝0

(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈[0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.19.已知数列满足对任意的，都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）解：由于，

①则有．

②②－①，得，由于，所以．

③同样有，

④③－④，得．所以．由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．故．（2）解：由（2）知，则．所以

．∵，∴数列单调递增．所以．要使不等式对任意正整数恒成立，只要．∵，∴．∴，即．所以，实

略20.如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

参考答案：解析：设每间羊圈的长、宽分别为，，则有，即．设上式当且仅当时取“＝”．此时

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴羊圈长、宽分别为m，3m时面积最大．21.＋＋＋…＋，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？参考答案：n＝1时，＝；n＝2时，＋＝＋＝；n＝3时，＋＋＝＋＝；n＝4时，＋＋＋＝＋＝

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.所以猜想＋＋＋…＋＝

.．．．．．．．．．．．．．．．．．6分证明如下：由＝1－，＝－，…，＝－.∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝

.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.己知函数，，.（1）讨论函数g(x)的单调性；（2）若f(x)在处取得极大值，求a的取值范围.参考答案：(1)在上是递增的，在上是递减的.(2).【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域分类讨论函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)结论可知，据此结合导函数的解析式分类讨论即可确定实数a的取值范围.【详解】（1）∵∴∵①当时，

∴在上是递增的②当时，若，则，若，则∴在上是递增的，在上是递减的.（2）∵，∴由（1）知：①当时，在上是递增的，若，则，若，则∴在取得极小值，不合题意②时，在上是递增的，在上是递减的，∴

∴在上是递减的∴无极值，不合题意.③当时，，由（1）知:在上是递增的，∵∴若，则，若，则，∴在处取得极小值，不合题意.④当时，，由（1）知:在上是递减的，∵∴若，则