2018届数学复习第二章函数、导数及其应用课时作业7二次函数与幂函数（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE12学必求其心得，业必贵于专精课时作业7二次函数与幂函数一、选择题1．(2017·岳阳模拟）已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f（\r（2)，2））），则log2f（2）的值为（)A.eq\f(1,2) B．－eq\f（1，2)C．2 D．－2解析：设f(x）＝xα，则eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)））α＝eq\f(\r(2），2),所以α＝eq\f（1,2),f（2)＝2eq\s\up15(eq\f（1,2)），log2f(2)＝log22eq\s\up15(eq\f(1，2)）＝eq\f（1,2).答案：A2．（2017·吉林东北模拟）已知幂函数f（x)＝xn，n∈{－2，－1，1，3｝的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是()A．f(－2）>f(1) B．f（－2）〈f(1）C．f（2）＝f(1) D．f(－2）〉f(－1)解析：由于幂函数f（x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f（x)＝xn为偶函数,所以n＝－2，即f(x）＝x－2，则有f（－2）＝f（2）＝eq\f（1,4)，f（－1）＝f（1）＝1，所以f（－2)<f（1）,故选B。答案:B3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象可能是（）解析：若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数,二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A;若a<0,一次函数y＝ax＋b为减函数,二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D;对于选项B,看直线可知a〉0，b〉0,从而－eq\f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B，因此选C.答案：C4．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且f（1＋x）＝f(－x),则下列不等式中成立的是()A．f（－2）〈f（0）〈f(2）B．f（0)<f（－2)<f(2)C．f(0)<f（2)<f（－2）D．f（－2)〈f（2)<f(0）解析：∵f（1＋x)＝f(－x），∴（x＋1）2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c,∴x2＋(2＋b）x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，∴2＋b＝－b，即b＝－1，∴f（x）＝x2－x＋c,其图象的对称轴方程为x＝eq\f（1,2），∴f（0)〈f（2)〈f（－2）．答案：C5．已知0〈m〈n<1，且1〈a〈b，下列各式中一定成立的是()A．bm〉an B．bm<anC．mb〉na D．mb〈na解析：∵f（x)＝xa（a>1)在（0，＋∞）上为单调递增函数,且0<m〈n〈1,∴ma〈na，又∵g(x）＝mx（0〈m<1)在R上为单调递减函数，且1〈a<b，∴mb〈ma.综上,mb<na，故选D。答案:D6．已知函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3，x〉a，,x2＋6x＋3，x≤a，）)函数g（x）＝f（x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[－1，3） B．[－3，－1］C．［－3,3) D．[－1，1)解析:因为f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3,x〉a，,x2＋6x＋3,x≤a,）)所以g（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3－x，x>a，，x2＋4x＋3,x≤a.))又g(x）有三个不同的零点，则方程3－x＝0，x〉a有一个解，解得x＝3,所以a〈3，方程x2＋4x＋3＝0，x≤a有两个不同的解，解得x＝－1或x＝－3，又因为x≤a，所以a≥－1，故a的取值范围为[－1,3)．答案：A二、填空题7．若幂函数y＝（m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m解析：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－3m＋3＝1，,m2－m－2≤0,))解得m＝1或m＝2.经检验,m＝1或m＝2都符合题意．答案：1或28．若二次函数y＝8x2－(m－1）x＋m－7的值域为［0，＋∞)，则m＝________。解析：y＝8(x－eq\f（m－1,16)）2＋m－7－8·(eq\f（m－1，16)）2,∵值域为［0，＋∞)，∴m－7－8·（eq\f（m－1，16)）2＝0，∴m＝9或25。答案:9或259．(2017·邯郸一中月考)已知函数f（x）＝x2－6x＋5，x∈[1,a］，并且函数f（x）的最大值为f（a），则实数a的取值范围是________．解析：∵f（x）的对称轴为x＝3，要使f（x)在［1，a]上f（x)max＝f(a），由图象对称性知a≥5.答案：a≥510．函数f（x)＝x2＋2x，若f(x）>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a的取值范围为________；②恒成立，则a的取值范围为________．解析：①f（x)〉a在区间[1，3］上恒有解，等价于a<［f（x）］max，又f(x)＝x2＋2x且x∈［1,3]，当x＝3时，［f(x）］max＝15，故a的取值范围为a<15.②f（x）〉a在区间［1，3]上恒成立，等价于a〈［f（x）］min，又f（x)＝x2＋2x且x∈[1，3］，当x＝1时，［f（x）］min＝3，故a的取值范围为a<3。答案：a〈15a〈3二、填空题11．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1(a，b∈R），x∈R。(1）若函数f（x）的最小值为f(－1)＝0，求f（x）的解析式，并写出单调区间；(2）在(1)的条件下，f（x)>x＋k在区间[－3，－1］上恒成立,试求k的取值范围．解:(1）由题意得f(－1）＝a－b＋1＝0,a≠0，且－eq\f(b,2a)＝－1,∴a＝1，b＝2,∴f(x）＝x2＋2x＋1.单调减区间为（－∞，－1］，单调增区间为[－1，＋∞)．(2）f（x）〉x＋k在区间［－3，－1]上恒成立．转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g（x)＝x2＋x＋1,x∈［－3，－1］，则g（x)在［－3，－1］上递减，∴g(x）min＝g(－1)＝1.∴k<1,即k的取值范围为（－∞，1）．12．已知函数f（x)＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0),若f(x)在区间［2,3］上有最大值5,最小值2。(1）求a，b的值；（2)若b<1,g（x）＝f(x)－mx在［2,4]上单调，求m的取值范围．解：(1)f（x)＝a(x－1)2＋2＋b－a。当a〉0时，f(x)在［2，3］上为增函数，故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（f3＝5，,f2＝2）)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（9a－6a＋2＋b＝5,,4a－4a＋2＋b＝2）)⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝0.)）当a〈0时，f（x）在[2,3］上为减函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（f3＝2，，f2＝5)）⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（9a－6a＋2＋b＝2，,4a－4a＋2＋b＝5)）⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－1，，b＝3.)）(2）∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f（x)＝x2－2x＋2.g（x）＝x2－2x＋2－mx＝x2－（2＋m)x＋2,∵g（x）在［2,4]上单调，∴eq\f(2＋m，2)≤2或eq\f（m＋2,2)≥4。∴m≤2或m≥6。故m的取值范围为(－∞，2］∪［6，＋∞)．1．(2017·河南焦作一模)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1）上有最小值，则函数g（x)＝eq\f（fx，x）在区间(1,＋∞)上一定(）A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数解析：∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1)上有最小值,图象开口向上，对称轴为x＝a，∴a<1.g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a，x)－2a。若a≤0,则g(x）＝x＋eq\f（a,x）－2a在(－∞,0)，(0,＋∞）上单调递增．若1〉a>0,则g（x）＝x＋eq\f（a，x）－2a在（eq\r（a)，＋∞）上单调递增，故g（x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g（x）＝x＋eq\f（a,x)－2a在（1，＋∞)上单调递增，故选D。答案：D2．(2016·浙江卷）已知函数f（x）＝x2＋bx，则“b<0"是“f（f(x)）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当b〈0时，f（x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b，2），＋∞)）上单调递增，在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（b,2)））上单调递减，∴f（x）min＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(b,2））)＝－eq\f(b2，4)，即f(x）∈eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（b2,4),＋∞))，又－eq\f（b，2）∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(b2,4)，＋∞）），∴当f(x)＝－eq\f（b，2)时，f(f(x）)min＝feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（b,2））)＝－eq\f(b2，4），故f（x）与f(f(x)）有相等的最小值－eq\f(b2,4）；另一方面,取b＝0，f(x)＝x2与f(f（x）)＝x4有相等的最小值0，故选A.答案：A3．（2017·皖南模拟)已知函数f（x）＝x2＋2x＋1，如果使f（x)≤kx对任意实数x∈（1，m］都成立的m的最大值是5,则实数k＝________.解析:设g(x）＝f（x）－kx＝x2＋（2－k)x＋1，由题意知g（x）≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5,所以x＝5是方程g（x)＝0的一个根，将x＝5代入g（x)＝0,可以解得k＝eq\f（36，5)(经检验满足题意)．答案：eq\f(36，5）4．（2016·浙江卷）已知a≥3，函数F(x）＝min｛2｜x－1｜,x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q｝＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p，p≤q，，q，p>q。))（Ⅰ)求使得等式F（x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x（Ⅱ）（ⅰ）求F(x）的最小值m(a）；（ⅱ）求F（x）在区间［0,6]上的最大值M(a）．解:(Ⅰ）由于a≥3，故当x≤1时,（x2－2ax＋4a－2)－2｜x－1|＝x2＋2（a－1）(2－x当x〉1时，(x2－2ax＋4a－2）－2|x－1|＝(x－2)（x－2所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2,2（Ⅱ）(ⅰ)设函数f(x)＝2｜x－1｜，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x）min＝f（1)＝0，g（x）min＝g(a)＝－a2＋4a－2，所以由F（x)的定义知m(a）＝min｛f(1)，g（m（a）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(0，3≤a≤2＋\r（2），,－a2＋4a－2，a