专业课配套课本课件-4自动控制原理

主要内容§4—1根轨迹的基本概念§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则§4—3广义根轨迹§4—4滞后系统的根轨迹§4—5利用根轨迹分析系统的性能§4—6用MATLAB绘制系统的根轨迹第四章线性系统的根轨迹分析§4—1根轨迹的基本概念系统特征根的图解方法!!!根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。问题1:如何按希望性能将闭环极点合适的位置?闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性问题2:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便,有没有简便分析方法?K＝0时两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。一对共轭复根

根轨迹图系统的相关动静态性能信息过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。!系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。

闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；

！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件二、绘制根轨迹的基本规则三、闭环极点的确定一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件根轨迹方程m个零点n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件：幅角条件（k=0,1,2,…）1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件：

幅值条件K＝2幅值条件成立！不是根轨迹上的一点根轨迹上的一点必要条件：

S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条件成立；

S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。幅值条件是必要条件开环极点（“×”）p1=0开环零点（“〇”）!!幅角均以反时针方向进行。如果幅角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。1开环零点至s1的幅角1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。由幅值条件幅角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值单位反馈系统的开环传递函数

一个开环极点P1=0

负实轴上点s1s2=-1-j负实轴上都是根轨迹上的点！

负实轴外的点都不是根轨迹上的点！

举例二、绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的起点和终点二、根轨迹分支数三、根轨迹的连续性和对称性四、实轴上的根轨迹五、根轨迹的渐近线六、根轨迹的分离点

七、根轨迹的起始角和终止角八、根轨迹与虚轴的交点九、闭环特征方程根之和与根之积一、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件s值必须趋近于某个开环极点根轨迹起始于开环极点s值必须趋近于某个开环零点根轨迹终止于开环零点二、根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即n>m。m条终止于开环零点（有限值零点)；（n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根

K变化(0到∞

),n个根随着变化n条根轨迹。三、根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。四、实轴上的根轨迹如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；？已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。五、根轨迹的渐近线当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…）：渐近线与实轴交点的坐标值：证明长除法K’∞时，s∞，取前两项改写为模和相角的形式两边开（n－m）次方牛顿二项式定理展开，由于s∞，忽略分母为s的二次幂和二次幂以上各项1）当k值取不同值时，a有（n－m）个值，而a不变；2）根轨迹在s∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为a

、倾角a为的一组射线。说明已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：0、-1、-5一个开环零点：-4n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：根轨迹的渐近线例一已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹的渐近线例二六、根轨迹的分离点

分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。1、b坐标值由分式方程解出证明例2、由极值点求解b

坐标值由解出b

证明例必要条件：当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。3、重根法求解b

证明由解出b

分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）会合（或分离）的根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角例r重根

r>1含两边求导b必要条件：!!当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。[-1，-2]区间无根轨迹舍去由极值点求解b坐标值由分式方程解出根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有

或两式相除或即得解出s1，即为分离点b已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。规则1、2、3根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。根轨迹对称于实轴。规则4实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹规则5根轨迹有两条渐近线（n－m＝2),令k=0

规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段－2到－3之间由极值点求解b

假定s点沿实轴自p2点移向p1点,k’增益：从零开始逐渐增大， 到达b点时为最大， 逐渐减小， 到p1点时k’为零。根轨迹分离点处所对应的k’增益具有极值

？！取在根轨迹上的解。规则1、2、3、4

根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，－4和－2±j4，终止于无限远零点。实轴上0～－4区段为根轨迹。辐角条件

p3、p4的连接线为根轨迹根据规则5

根轨迹有四条渐近线根据规则6求根轨迹的分离点p3、p4的连接线上七、根轨迹的起始角和终止角起始角p:从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)k＝0，1，…

证明

终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0～360°)

例根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1相角方程s1p1起始角p四条分支起始点p1＝0、p2、3＝―0.5+j1.5、p4＝―2.5终止点z1＝－1.5、z2，3

＝－2±j、－∞实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹取k＝0p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。或取k＝1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。八、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’，由K’值求出相应的ω值例2）代数法代入特征方程联立求解，根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K’值。例系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程系统稳定的临界K’值：K’=6阵列中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点

系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程九、闭环特征方程根之和与根之积系统闭环特征多项式zi开环零点si闭环极点pi开环极点闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：1）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数，且有2）根之和不变K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。根轨迹增益K’=3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹。根轨迹有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为取k＝0、1＋60°、－60°、＋180°渐近线与实轴交点坐标为系统特征方程根轨迹与虚轴的交点两条根轨迹分支起始于共轭复数极点－1±j各闭环极点之和为－5当实轴上根轨迹分支向左趋向于无限零点时，两个从复数极点出发的根轨迹分支趋向于右边无限零点。K＝2.34时根轨迹与虚轴两个交点闭环极点之和为－5闭环交点之积为2K’=-14.04三、闭环极点的确定例:

设反馈控制系统的开环传递函数为若要求闭环系统的阻尼比ξ=0.5,求系统闭环极点。解：（1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图；（2）在根轨迹图上画出阻尼比线；（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极点的位置；（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益；（5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定其它闭环极点。阻尼比线闭环主导极点闭环主导极点为根据幅值条件开环增益为特征方程§4—3广义根轨迹一、参数根轨迹二、多回路根轨迹三、正反馈和零度根轨迹一、参数根轨迹以系统中任意一个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）绘制的根轨迹。研究参数根轨迹的目的

分析参数变化对系统性能的影响绘制参数根轨迹图基本原理常规根轨迹方程：参数根轨迹方程：等效开环传递函数以α为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹例：系统的开环传递函数为绘制以α为参数的参数根轨迹，并讨论α值对系统稳定性的影响。解：（1）以α为参量的等效开环传递函数系统特征方程等效开环传递函数开环极点实轴上的根轨迹渐近线根轨迹与虚轴的交点:特征方程交点为出射角:劳斯表对于-1+j1.73处的极点有对于-1-j1.73处的极点有二、多回路根轨迹根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。系统的开环传递函数系统特征方程以α为参数研究以KC、Kf为变量的根轨迹系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！！1）绘制内环的根轨迹图内环的开环传递函数根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图2)确定内环的闭环极点假定内环的反馈系数3.2<Kf<3.5内环的特征方程可选Kf=3.36,则求得内环的闭环极点为3)绘制外环的根轨迹图外环的开环传递函数三、正反馈和零度根轨迹1、局部正反馈系统的框图正反馈回路的闭环传递函数特征方程幅值条件幅角条件（k=0,1,2,…）绘制正反馈系统根轨迹的基本规则（1）、根轨迹的分支数(相同)（2）、根轨迹的起点和终点(相同)（3）、根轨迹的对称性(相同)（4）、实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。（5）、根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为（6）、根轨迹的会合点和分离点(相同)（7）、根轨迹的出射角和入射角

（8）、根轨迹与虚轴的交点(相同)（9）、闭环极点的和与积(相同)例控制系统方框图如下所示系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。解：（1）内环的开环传递函数（4）实轴上的根轨迹（2）根轨迹的分支数3（3）根轨迹的起点0，-1，-3终点均为∞

（5）根轨迹的渐近线（6）根轨迹的分离点特征方程§4—4滞后系统的根轨迹在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，对系统的稳定性会带来不利的影响。系统闭环传递函数特征方程这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。滞后系统根轨迹幅值相位条件幅值条件相角条件绘制滞后系统根轨迹的基本规则（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开环实零、极点数目之和相应为奇数。（4）、根轨迹的渐近线：（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴（2）、根轨迹的起点和终点起点终点根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为（5）、根轨迹的分离点：（6）、根轨迹的出射角和入射角：（7）、根轨迹与虚轴的交点：例：设滞后系统的开环传递函数为要求绘制此系统的根轨迹图。解：系统特征方程为绘制根轨迹的相角条件为（1）根轨迹的起点和终点起点p1=-1,σ=-∞终点趋于无穷远（2）实轴上的根轨迹（-∞，-1]（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于（4）令k=0画出主根轨迹k=0的根轨迹，称为主根轨迹k=1、2、…的根轨迹，称为辅助根轨迹作图方法系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响,如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也可能变为不稳定系统。说明：1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。§4—5利用根轨迹分析系统的性能系统性能系统的开环零、极点位置根轨迹闭环极点位置一、暂态响应性能分析设系统有一对共轭复数极点，此外还有若干实数零点和极点，系统为0型系统，闭环传递函数为。当Sk

为实数极点时q为sk右面零、极点数目之和设S1、S2为共轭复数极点主导极点具有一对共轭复数极点的零型系统的单位阶跃响应为超调量和调整时间近似估算公式系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系：（1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。（2）如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。（3）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主导极点的实部（4）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。（5）除其它闭环极点外的其它极点的存在会增大系统的阻尼比，使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加。二、附加开环零点对根轨迹的影响渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移提高了系统的相对稳定性例：一个系统的开环传递函数为分析附加一个零点S+Z时系统根轨迹的变化

在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零点，由此给根轨迹带来明显的改变。附加一个零点相当于增加一个比例微分环节，在实际中，能够得到的比例微分作用的环节是比例环节与惯性环节串联而成的复合环节。只要选取P>5Z，可以产生类似附加单纯零点的作用。增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用零极点对应的矢量幅角附加提供一个超前角

开环传递函数上附加极点降低了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧三、附加极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响右移极点增加一个极点的情况四、开环偶极子开环偶极子距离原点较远幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消；对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益