【名师一号】高中数学 1.2.3空间几何体的直观图 A必修2

1.2.3空间几何体的直观图1自学导引(学生用书P10)1.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

2.体会直观图与平面直角坐标系下图形的转化,提高空间想象能力.

2课前热身(学生用书P10)1.表示空间图形的________,叫做空间图形的直观图.

2.用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于x轴､y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成________于x′轴､y′轴或z′轴的线段.平行于x轴和z轴的线段,在直观图中长度________;平行于y轴的线段,长度变为原来的________.

平面图形平行不变一半3名师讲解(学生用书P10)利用斜二测画法画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题

(1)要根据图形的特点选取适当的坐标系,这样可以简化作图步骤;

(2)平行于y轴的线段画直观图时一定要画成原来长度的一半;

(3)对于图形中与x轴､y轴､z轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.

4典例剖析(学生用书P10)题型一水平放置的平面图形的直观图

5例1:画出水平放置的等腰梯形的直观图.

解:画水平放置的直观图应遵循以下原则:

(1)直角坐标系中∠x′O′y′=45°;

(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;

(3)竖线是原来的,即O′E′=OE.

6画法:(1)如图,取AB所在直线为x轴,

AB中点O为原点,建立直角坐标系,

画对应的坐标系x′O′y′,使

∠x′O′y′=45°.

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.

(3)连结B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD

的直观图,如下图.

7误区警示:画水平放置的几何图形的直观图时,不能将与y轴平行的线画成与原来的长度相等,如本例中的O′E′.

8变式训练1:画出边长为3cm的正方形的直观图.

解:(1)画轴.如下图,使∠x′O′y′=45°.

(2)在x′轴上截取O′A′=3cm.

在y′轴上截取O′C′=1.5cm.

作C′B′∥O′A′且C′B′=3cm.

连结A′B′,则平行四边形O′A′B′C′

就是边长为3cm的正方形的直观图.

9题型二空间图形的直观图

例2:用斜二测画法画出六棱锥P—ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)

10解:画法:(1)画出六棱锥P—ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x轴,对称轴MN所在的直线为y轴,两轴相交于点O(如图(1)所示),画相应的x′轴､y′轴以及和x′轴垂直的z′轴,三轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°;(如图(2)所示)

11②在图(2)中以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M′N′=MN,以N′点为中点画B′C′平行于x′轴,并且等于BC;再以M′点为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF;③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.

12(2)画正六棱锥P—ABCDEF的顶点.在O′z′轴上截取点P′,使P′O′=PO.

(3)成图.连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′轴､y′轴和z′轴,便得到六棱锥P—ABCDEF的直观图P′—A′B′C′D′E′F′.(如图(3)所示).

13变式训练2:画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.

解:画法:(1)画轴.画Ox轴､Oy轴､Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).

14(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.

(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高.

(4)成图.顺次连接PA､PB､PC､PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图(2).

15题型三画三视图所表示的空间图形的直观图

例3:如图已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

16解:由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥.

17画法:(1)画轴,如图(1),画x轴､y轴､z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画圆柱的两底面.画出底面⊙O.在z轴上截取O′,使OO′等于三视图中相应高度,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′(与⊙O一样).

(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.

(4)成图.连结PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图(2).

1819规律技巧:由三视图想象几何体画直观图时,也要根据“长对正,宽相等,高平齐”的基本特征,想象视图中每部分对应的实物部分的形象.

20变式训练3:如下图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.

21解:画法:(1)画轴.如下图(1),画x轴､y轴､z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画两底面.由三视图知该几何体为正六棱台,用斜二测画法画出底面ABCDEF,在z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中的相应高度.过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成图.连结A′A､B′B､C′C､D′D､E′E､F′F.整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图(2).

2223易错探究

例4:已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为()错解:A

2425正解:由直观图的画法知,原三角形的高是直观图△A′B′C′的高的倍.

所以△ABC的面积为答案:C

26技能演练(学生用书P12)

基础强化271.关于斜二测直观图的画法,以下说法不正确的是()

A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的

C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45°

D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同答案:C

282.下列叙述正确的个数是()

①相等的角在直观图中仍相等;

②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;

③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行;

④若两条线段垂直,在直观图中对应的线段也垂直.

A.0B.1

C.2D.3

解析:由直观图的画法知,仅有③正确.

答案:B

293.利用斜二测画法得到如下结论:

①三角形的直观图是三角形;

②平行四边形的直观图是平行四边形;

③正方形的直观图是正方形;

④梯形的直观图是梯形.

其中正确的是()

A.①②B.③④

C.②③D.①④答案:D

304.以下说法正确的是()

A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D.正方体的三视图一定是全等的正方形

答案:C

315.如下图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,那么A′B′､A′D′､A′C′三条线段对应原图形中线段AB､AD､AC中()

32A.最长的是AB,最短的是AC

B.最长的是AC,最短的是AB

C.最长的是AB,最短的是AD

D.最长的是AD,最短的是AC

解析:还原为原图形知,在△ABC中AD⊥BC.

且∠C=∠B,∴AB最长,AD最短.

答案:C

336.如图,△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图,则△OAB的面积为________.

解析:S△OAB=×4×6=12.

12347.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长是4,则此正方形的面积是________.解析:根据直观图的画法,平行于x轴的线段长度不变,平行y轴的线段变为原来的.于是当长为4的边平行x轴,则正方形边长为4,所以面积是16;长为4的边平行于y轴时,正方形边长为8,面积为64.

16或64358.画出棱长为2cm的正方体的直观图.解:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD(图(1)).

使∠BAD=45°,AB=2cm,AD=1cm.

(2)过A作z′轴使∠BAz′=90°,分别过点A､B､C､D,沿z′轴的正方向取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm.

(3)连接A′B′､B′C′､C′D′､D′A′,得到的图形就是所求的正方体直观图(图(2)).

36能力提升

9.如下图的正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为()

A.6cm B.8cm

37解析:将直观图还原为原图形,如下图所示:

由直观图知,OB=cm,BC=OA=1cm.

∴OC=AB

∴平行四边形OABC的周长为8cm.

答案:B

3810.已知几何体的三视图,如下图所示,用斜二测画法画出它的直观图(单位cm).

39解:由三视图可知其几何体是底面边长为2cm,高为3cm的正六棱锥,其直观图如下图所示:40画法:(1)画轴.取底面中心O′,画x′轴､y′轴､z′轴,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.

(2)画底面.在水平面x′O′y′内画边长为2cm正六边形的直观图.

(3)画高线.在O′z′上取点P′,使O′P′=3cm.

(4)成图.连接P′A′､P′B′､P′C′､P′D′､P′E′､P′F′(画侧棱)去掉辅助线,并且遮住的部分改为虚线,即得到如图所示的直观图.

41品味高考(学生用书P13)

11.(北京高考)如