2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市西四旗高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x=sin2024π的倾斜角为(

)A.2024π B.π2 C.π3 2.设向量a=(1,2,m)，b=(2,0,−1)，若a⊥b，则A.−2 B.−1 C.1 D.23.过点(−1,2)且与直线x−y−1=0垂直的直线l的方程为(

)A.x+y−3=0 B.x−y+3=0 C.x+y−1=0 D.x−y+1=04.如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE=13AB，F是棱CD的中点，则EF=A.−13AB−12AC+15.两平行直线mx−3y−2=0与4x−6y−7=0之间的距离为(

)A.1326 B.1313 C.6.用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为(

)A.13 B.12 C.237.正四面体ABCD的棱长为3，点E为棱AB靠近点A的三等分点，点F为△ACD的重心，则线段EF的长为(

)A.2 B.3 C.2 8.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，AM=λAS(0≤λ≤1)，若点M到平面SBC的距离为33，则实数λA.13 B.12 C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设M，N是两个随机事件，若P(M)=13,P(N)=1A.若N⊆M，则P(M∪N)=13

B.若M∩N=⌀，则P(M+N)=0

C.若P(M∩N)=118，则M，N相互独立

D.若M10.已知直线l过点(1,3)，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是(

)A.3 B.5 C.7 D.911.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠AA.若点Q在平面A1B1C1D1内，则p=1

B.若CQ⊥DB，则m=n

C.当p=12时，三棱锥Q−ABD的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面α的法向量为p=(1,2,−1)，平面β的法向量为r=(m,1,−m)，若α//β，则m=______．13.在正方体ABCD−A1B1C14.在△ABC中，顶点A(2,3)，点B在直线l：3x−y+1=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．

(1)用空间向量方法证明：A1C1//平面16.(本小题15分)

已知直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R．

(1)求l恒过的定点的坐标；

(2)若l经过第一、二、三象限，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，P，Q分别为A1B1，BC的中点．

(1)18.(本小题17分)

为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是23和12.假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．

(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；

(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；

(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答519.(本小题17分)

在空间直角坐标系Oxyz中，定义：过点A(x0,y0,z0)，且方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线的点方向式方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c；过点A(x0,y0,z0)，且法向量为m=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面的点法向式方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，将其整理为一般式方程为ax+by+cz−d=0，其中d=ax0+by0+cz0．

(1)求经过参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.C

7.A

8.A

9.AC

10.CD

11.ABD

12.1213.32814.215.(1)证明：由题，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

∴A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，

则A1C1=(−2,2,0),AC=(−2,2,0),CD1=(0,−2,2)，

设平面ACD1的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=−2x+2y=0n⋅CD1=−2y+2z=0，令z=1，则可得x=1，y=1，即n=(1,1,1)；

∴n⋅A1C1=−2+2+0=0，

∴n16.解：(1)已知直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R，

整理直线l的方程，得(2x−y+3)a+3x+y+7=0，

联立方程组2x−y+3=0,3x+y+7=0,

解得x=−2,y=−1,所以直线l恒过的定点的坐标为(−2,−1)；

(2)当a=1时，直线l的方程为x=−2，经过二、三象限，不符合题意；

当a≠1时，y=2a+3a−1x+3a+7a−1，

因为l经过第一、二、三象限，所以2a+3a−1>03a+7a−1>0⇒(2a+3)(a−1)>017.解：(1)取B1C1的中点G，连接QG，显然QG//BB1，

由正三棱柱的特征可知BB1⊥底面ABC，所以GQ⊥底面ABC，

又AQ、BQ⊂底面ABC，所以GQ⊥AQ，GQ⊥BQ，

因为Q是BC中点，易得AQ⊥BQ，

则以Q为原点，QA，QB，QG所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则Q(0,0,0),C1(0,−1,2),A(3,0,0),A1(3,0,2),B1(0,1,2)，

所以P(32,12,2),AP=(−32,12,2),QC1=(0,−1,2)，

则|cos<AP,QC1>|=|AP⋅QC1||AP||QC1|=18.解：(1)某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式，

甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是23和12．

假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响，乙回答了4个问题，

记“乙至少有1个回答正确”为事件M，

∴乙至少有1个回答正确的概率为P(M)=1−P(M−)=1−(1−12)×(1−12)×(1−12)×(1−12)=1516．

(2)甲、乙两人各回答了3个问题，记“乙答对i个问题”为事件Bi(i=1,2,3)，“甲答对i个问题”为事件Ai(i=1,2,3)，

则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的事件为：

A1A2A3B1B2−B3−+19.解：(1)∵A(−1,2,4)，B(2,0,1)，

∴直线AB的方向向量为m=AB=(3,−2,−3)，

∴直线AB的点方向式方程为x+13=y−2−2=z−4−3；

(2)证明：由平面α1为：2x−3y+z−1=0，

∴平面α1的法向量为m1=(2,−3,1)，

由平面β1为：x+y−2z+4=0，

∴平面β1的法向量为m2=(1,1,−2)，

设交线l的方向向量为n=(x0,y0,z0)，

则根据