【名师导学】高考数学一轮总复习 7.50 互斥事件和独立事件的概率及条件概率 理

第50讲互斥事件和独立事件的概率及条件概率【学习目标】1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率．【基础检测】1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D发生的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()

A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件D【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为()A．0.99 B．0.98C．0.97 D．0.96D【解析】记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}．事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件．所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为____．4．甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是____．【知识要点】1．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：

．(2)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝

＝

(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝

或P(A1＋A2＋…＋An)＝

．(A1，A2，…，An互斥)．③对立事件的概率：＝

．0≤P(A)≤1P(A＋B)P(A)＋P(B)P(A1)∪P(A2)∪…∪P(An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)1－P(A)3．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为

．(2)条件概率具有的性质：①

；②如果B和C是两个互斥事件，则

．0≤P(B|A)≤1P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称

．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝

，P(AB)＝

．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．事件A与事件B相互独立P(B)P(A)P(B)4．相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称

．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝

，P(AB)＝

．(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．5．独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．【点评】条件概率的概念性较强，在审题时注意和相互独立事件加以区分，条件概率P(B|A)的含义中具有A的发生影响B发生的样本容量．【点评】理解互斥事件的含义是区别事件是否互斥的根本，在实际应用过程中若将复杂事件用分类的方法化归为若干个简单事件进行求解，实质上是化归为互斥事件的和求解．同时应注意应用对立事件研究问题，对立事件应用的问题情境是正面情形类别较多，而反面情形类别相对较少．【点评】独立重复试验模型的特征应理解并熟记，在实际应用中应恰当转化化归．【点评】理解题意，领会事件的实质是将所求概率的事件分解为互斥事件和与相互独立事件积．【点评】本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列的期望的确定，并考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力，难度适中．1．准确把握事件之间的运算关系是利用公式求概率的前提，而判断两个事件的关系是解题的关键，要把几个概念的要点分析清楚，可以通过实物和集合的知识从感性到理性来加深理解，要特别注意公式成立的前提条件，并结合正反实例对所学知识进行加深与巩固．2．注意从题目一些字眼，如“互相独立”、“互不影响”中分析各事件是否为独立事件．3．对于n次独立重复实验中事件有X次发生的概率计算，要果断使用公式解题，这样可以节约解题时间．4．注意一些事件如独立重复实验，若随机变量不是“事件发生的次数”，这时就不可盲目套用公式．

【命题立意】本题考查互斥事件、相互独立事件与条件概率等知识，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属中档题．1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球A【解析】由互斥、对立事件的概念可知，B，C中两事件不互斥，D中两事件互斥且对立．B

A

4．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－发生的概率为____．5．袋中有5个球，其中白球3个，黑球2个，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为____．6．如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：(1)P(A)＝____；(2)P(B|A)＝